Как доказать неравенство?

Чтобы доказать неравенство:

a² + b² + c² + d² ≥ 4√(abcd),

где a, b, c, d ≥ 0, мы можем использовать метод, основанный на неравенстве Коши-Буняковского или неравенство арифметической и геометрической сред. Рассмотрим подробные шаги.

1. **Понимание неравенства**:
   Мы имеем сумму квадратов четырёх неотрицательных чисел (a, b, c, d) и пытаемся показать, что эта сумма всегда больше либо равна выражению, зависящему от произведения этих же чисел. На первый взгляд, кажется, что сумма квадратов будет больше, особенно если хотя бы одно из чисел больше нуля.

2. **Арифметическое и геометрическое среднее**:
   Сначала вспомним неравенство между арифметической (AM) и геометрической (GM) средними, которое гласит, что для n неотрицательных чисел выполняется:

   (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n ≥ (x₁ * x₂ * ... * xₙ)^(1/n).

   Применяя это неравенство к нашим четырем неотрицательным числам, мы получаем:

   (a² + b² + c² + d²) / 4 ≥ (a * b * c * d)^(1/2).

   Умножим обе стороны этого неравенства на 4:

   a² + b² + c² + d² ≥ 4 * (a * b * c * d)^(1/2).

3. **Приведение к оригинальному неравенству**:
   Обратите внимание, что (a * b * c * d)^(1/2) можно записать как √(abcd). Таким образом, мы приходим к желаемому результату:

   a² + b² + c² + d² ≥ 4√(abcd).

4. **Проверка крайних случаев**:
   Если все переменные равны нулю (a = b = c = d = 0), то мы получаем 0 ≥ 0, что верно. Если одно из чисел равно нулю, а остальные положительны (например, a = 0, b = 1, c = 1, d = 1), то:

   0² + 1² + 1² + 1² = 3 ≥ 4√(0) = 0, что также верно.

   В любом случае при любых неотрицательных значениях a, b, c и d неравенство сохраняет свою верность.

5. **Обобщение**:
   Это неравенство является частным случаем более общего результата о неравенстве между средними. Такие методы находят широкое применение в различных областях, включая аналитику, статистику и теорию оптимизации. 

Итак, мы пришли к тому, что неравенство a² + b² + c² + d² ≥ 4√(abcd) верно при условии, что все переменные неотрицательны.