Как доказать теорему о Еже?

Теорема о Еже, также известная как теорема про векторы, говорит о том, что сумма векторов, построенных на гранях выпуклого многогранника, равна нулю. Эти векторы направлены перпендикулярно к граням и имеют длину, равную площади соответствующей грани. Вот шаги, которые помогут понять и доказать эту теорему.

1. Определение и постановка задачи

1. *Что такое многогранник?* Выпуклый многогранник – это трёхмерная форма, ограниченная плоскими гранями, где для любых двух точек внутри него вся отрезок между этими точками также лежит внутри многогранника.

2. *Построение векторов*. Для каждой грани G i многогранника:
   - Определяем площадь S i этой грани.
   - Строим вектор V i, перпендикулярный грани G i, такой что его длина равна S i.

3. *Формулировка теоремы*. Мы хотим показать, что сумма всех векторов, направленных перпендикулярно к граням, равна нулю:
   - V1 + V2 + ... + Vn = 0.

2. Выбор системы координат

Чтобы сделать доказательство более формальным, удобно выбрать произвольную систему координат:

- Положите центры весов соседних граней на плоскости. Это упростит расчет, потому что площади, умноженные на перпендикулярные векторы, будут направлены одинаково в двух направлениях.

3. Использование понятия "векторной суммы"

1. *Сумма векторов*: Векторы V i представляют собой ориентированные площади. Каждому вектору соответствует точка приложения – центр тяжести грани. 
2. *Свойства многогранника*: 
   - Каждая грань имеет свои соседи. Когда вы переходите от одной грани к соседней, часть вектора V i "погашается" в векторах соседей.

4. Доказательство через элементы поверхности

1. *Краевые грани*: Для граней, которые сообщаются с другими, их площади и направления векторов будут частично перекрывать друг друга и в итоге суммироваться в ноль.
   
2. *Границы*: Границы между соседними гранями обеспечивают, что для каждой грани её "восточная" часть уравновешивается "западной" частью соседней.

5. Упрощение доказательства с использованием интегралов

Для многогранников можно использовать интегралы:

- Подсчет общей ориентации векторов может быть выполнен при помощи интегрирования векторов по поверхности всего многогранника.
- В случае выпуклого многогранника получаем:

\ \int_S \mathbf{n} \, dS = 0 \

где *n* – вектор нормали к поверхности, *dS* – элемент площади.

6. Заключение

Согласно вышеизложенному, полагая, что векторы с равными по величине площадями границ, но направленные обратно (из-за того, что соседи имеют противоположные вектора), мы приходим к выводу, что сумма всех векторов равна нулю:

\ V_1 + V_2 + ... + V_n = 0 \

Это позволяет заверить справедливость теоремы о Еже, что векторы, построенные на гранях выпуклого многогранника, действительно складываются в ноль, демонстрируя гармонию между геометрией и алгеброй.