Кто сможет быстро и наглядно доказать S=pr?

Доказательство формулы S = p * r, где S — площадь треугольника, p — полупериметр, а r — радиус вписанной в него окружности, можно провести, разделив его на несколько шагов. Мы будем опираться на знания девятиклассника и использовать интуитивный подход. 

Шаг 1: Определения

1. **Площадь треугольника (S)**: Площадь треугольника можно выразить через его основание и высоту. Формула: 

   S = (1/2) * основание * высота.

2. **Полупериметр (p)**: Полупериметр треугольника равен половине суммы его сторон. Обозначим стороны треугольника как a, b и c. Тогда:

   p = (a + b + c) / 2.

3. **Радиус вписанной окружности (r)**: Это расстояние от центра окружности, вписанной в треугольник, до его сторон.

Шаг 2: Интуитивная связь между величинами

Формула S = p * r свидетельствует о том, что площадь треугольника равна произведению полупериметра и радиуса вписанной окружности. Это связано с тем, как площадь треугольника "покрывает" его стороны и вписанную окружность.

Шаг 3: Формальная интерпретация

Представим, что окружность вписана в треугольник. Она касается всех трех сторон треугольника. Если мы проведем радиусы, которые соединяют центр окружности с точками касания на сторонах, то мы получим три треугольника, которые образуют квадрат площади S треугольника.

1. **Треугольник с базой (a)**: 

   Площадь этого треугольника будет равна:

   S1 = (a * r) / 2.

2. **Треугольник с базой (b)**:

   Площадь этого треугольника будет равна:

   S2 = (b * r) / 2.

3. **Треугольник с базой (c)**:

   Площадь этого треугольника будет равна:

   S3 = (c * r) / 2.

Теперь, общая площадь всех этих треугольников равна:

S = S1 + S2 + S3 = (a * r) / 2 + (b * r) / 2 + (c * r) / 2.

Шаг 4: Подстановка и упрощение

Объединим все треугольники:

S = r * ( (a + b + c) / 2 ) = r * p, так как p = (a + b + c) / 2.

Шаг 5: Заключение

Мы пришли к нужной формуле: 

S = p * r.

Таким образом, площадь треугольника действительно равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности. 

Это доказательство интуитивно понятное и опирается на базовые понятия геометрии, которые изучают в девятом классе.

Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!