Как решать функциональные уравнения?

Решение функциональных уравнений зачастую требует творческого подхода и анализа свойств самих функций. Рассмотрим ваше выражение: 

f(x) + f(x^2 - 1) = 2016. 

1. Выявление особенностей уравнения: 
   Вы сначала заметите, что это уравнение верно для любого реального x. Это значит, что функции f(x) и f(x^2 - 1) имеют некую связь, которая фиксирована на уровне 2016.

2. Проверка значений: 
   Начнем с подстановки конкретных значений. Для простоты возьмем x = 1:

   f(1) + f(1^2 - 1) = f(1) + f(0) = 2016.

   Теперь подставим x = 0:

   f(0) + f(0^2 - 1) = f(0) + f(-1) = 2016.

   Мы получили два уравнения:

   1) f(1) + f(0) = 2016,
   2) f(0) + f(-1) = 2016.

3. Попробуем найти f(0): 
   Из первого уравнения мы можем выразить f(1) через f(0):

   f(1) = 2016 - f(0).

   Подставим это значение в уравнение, которое содержит f(0):

   (2016 - f(0)) + f(-1) = 2016.

   Сокращая на 2016, получаем:

   - f(0) + f(-1) = 0, 

   что означает, что f(-1) = f(0).

4. Подставим x = -1:
   Теперь воспользуемся x = -1:

   f(-1) + f((-1)^2 - 1) = f(-1) + f(0) = 2016.

   Поскольку f(-1) = f(0), мы можем записать это как:

   f(0) + f(0) = 2016.

   Это дает нам f(0) = 1008.

5. Находим f(-1):
   Из равенства f(-1) = f(0) находим:

   f(-1) = 1008.

6. Возвращаемся к уравнению:
   Теперь знаем значение f(0) и f(-1). Теперь вернемся к исходному уравнению и подставим x = √2:

   f(√2) + f((√2)^2 - 1) = f(√2) + f(2 - 1) = f(√2) + f(1) = 2016.

   Подставим ранее найденное значение f(1):

   f(√2) + (2016 - f(0)) = 2016.

   Замещая f(0):

   f(√2) + (2016 - 1008) = 2016.

   f(√2) + 1008 = 2016, следовательно:

   f(√2) = 1008.

7. Обобщаем:
   Функция f(x) может быть выражена через константу, например, f(x) = 1008 для любого x, удовлетворяющего данному уравнению. Поэтому для нахождения f(-√2):

   f(-√2) = 1008.

В заключение, мы выяснили, что для любого значения x функция f принимает одно и то же значение 1008, что делает её константной функцией с постоянным результатом для любого аргумента. Таким образом, мы получаем ответ:

f(-√2) = 1008.