Как составить уравнение прямой, проходящей через точку A (-3, 4)?

Чтобы составить уравнение прямой, проходящей через точку A (-3, 4), и параллельной заданной прямой, давай разберем этот процесс по пунктам.

Шаг 1: Определение направления заданной прямой

Заданная прямая представлена в параметрической форме:

 x = 3 + t
 y = 4 - 7t

Здесь переменная t является параметром. Мы можем выразить уравнение данной прямой в канонической (или математической) форме, чтобы понять её наклон.

Из этих уравнений можно выделить два важнейших момента: 
— начальная точка (3, 4) 
— направляющий вектор (1, -7), поскольку изменение x на 1 соответствует изменению y на -7.

Шаг 2: Определение наклона

Наклон (угловой коэффициент) данной прямой можно найти как:

m = Δy / Δx = -7 / 1 = -7.

Так как мы ищем прямую, параллельную этой, то наклон искомой прямой будет также равен -7.

Шаг 3: Использование уравнения прямой

Уравнение прямой можно записать в виде:

y = mx + b,

где m — наклон, а b — свободный член.

Однако в нашем случае мы знаем, что прямая проходит через точку A (-3, 4). Поэтому мы можем использовать уравнение точки-наклона:

y - y1 = m(x - x1),

где (x1, y1) — координаты нашей точки, A(-3, 4), и m — наклон.

Подставляем значения:

y - 4 = -7(x + 3).

Шаг 4: Упрощение уравнения

Теперь упростим уравнение:

1. Раскроем скобки:

y - 4 = -7x - 21.

2. Переносим 4 в правую часть:

y = -7x - 21 + 4,
y = -7x - 17.

Шаг 5: Запись уравнения в стандартной форме

Итак, уравнение прямой, проходящей через точку A (-3, 4) и параллельной заданной прямой, можно записать как:

y = -7x - 17.

Это уравнение в форме y = mx + b с m = -7 и b = -17.

Дополнительные соображения

Прямые, которые имеют одинаковый угловой коэффициент, всегда будут параллельны и не пересекутся, если только они не совпадают (когда b будет также равен). Для данной прямой мы можем заметить, что если бы b было равным, то у нас была бы та же самая прямая.

Параллельные прямые могут быть интересны в различных приложениях, от геометрии до физики. Они часто встречаются, когда мы рассматриваем движения объектов - например, движущиеся машины по параллельной дороге. Это подчеркивает тот факт, что в математике зачастую к одному и тому же понятию можно подойти с разных углов, и понимание этих концепций может значительно упростить анализ.

Если у тебя есть дополнительные вопросы по этой теме или похожие задачи, не стесняйся задавать их!