Как найти производную функции y=(x^3-2x^2-1)*sin2x?

Чтобы найти производную функции \( y = (x^3 - 2x^2 - 1) \sin(2x) \), мы воспользуемся правилом произведения, которое гласит, что производная произведения двух функций \( f(x) \) и \( g(x) \) равна:

\[
(fg)' = f'g + fg'
\]

Где \( f' \) и \( g' \) — производные функций \( f \) и \( g \) соответственно.

Процесс нахождения производной можно разделить на несколько шагов:

Шаг 1: Определение функций

В нашем случае определим \( f(x) \) и \( g(x) \):

- \( f(x) = x^3 - 2x^2 - 1 \)
- \( g(x) = \sin(2x) \)

Шаг 2: Нахождение производных

Теперь найдем производные обеих функций:

1. **Производная функции \( f(x) \):**

\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 2x^2 - 1)
\]

Используя стандартные правила дифференцирования:

\[
f'(x) = 3x^2 - 4x
\]

2. **Производная функции \( g(x) \):**

\[
g'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(2x))
\]

Здесь мы используем цепное правило, которое применяется к функции, состоящей из вложенной функции. Производная \( \sin(2x) \) равна:

\[
g'(x) = 2 \cos(2x)
\]

(первый множитель — это производная синуса, а второй — производная внутренней функции \( 2x \)).

Шаг 3: Применение правила произведения

Теперь, когда мы получили производные \( f' \) и \( g' \), подставим их в формулу для производной произведения:

\[
y' = f'g + fg'
\]

Шаг 4: Подставляем найденные значения

Подставим найденные значения в формулу:

\[
y' = (3x^2 - 4x) \sin(2x) + (x^3 - 2x^2 - 1)(2 \cos(2x))
\]

Шаг 5: Упрощение результата

Разделим выражение на два компонента для большей ясности:

1. Первый компонент:

\[
(3x^2 - 4x) \sin(2x)
\]

2. Второй компонент:

\[
2(x^3 - 2x^2 - 1) \cos(2x)
\]

Объединяем их:

\[
y' = (3x^2 - 4x) \sin(2x) + 2(x^3 - 2x^2 - 1) \cos(2x)
\]

Заключение

Итак, находим производную функции:

\[
y' = (3x^2 - 4x) \sin(2x) + 2(x^3 - 2x^2 - 1) \cos(2x)
\]

Это и есть искомая производная функции \( y = (x^3 - 2x^2 - 1) \sin(2x) \). Мы разобрали процесс поэтапно, чтобы было понятно, как использовать правило произведения и находить производные сложных функций.