Как решить логарифмическое уравнение с логарифмами в знаменателе?

Решение логарифмического уравнения с логарифмами в знаменателе может показаться сложным, но давайте разберем этот процесс по шагам. Предположим, что у нас есть следующее уравнение:

log(x) / log(2) + log(2) / log(x) = 3.

Шаг 1: Приведем уравнение к одному знаменателю

Сначала приведем все члены уравнения к общему знаменателю:

(log(x) * log(x)) / (log(2) * log(x)) + (log(2) * log(2)) / (log(x) * log(2)) = 3.

Шаг 2: Упрощение уравнения

Упростим уравнение, складывая дроби:

(log(x))^2 + (log(2))^2 = 3 * log(2) * log(x).

Теперь имеем квадратное уравнение относительно log(x):

(log(x))^2 - 3 * log(2) * log(x) + (log(2))^2 = 0.

Шаг 3: Используем формулу для решения квадратного уравнения

Решим квадратное уравнение, используя формулу:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a,

где a = 1, b = -3 * log(2), c = (log(2))^2.

Находим дискриминант:

D = (-3 * log(2))^2 - 4 * 1 * (log(2))^2 = 9 * (log(2))^2 - 4 * (log(2))^2 = 5 * (log(2))^2.

Теперь подставим значения в формулу:

log(x) = (3 * log(2) ± √(5 * (log(2))^2)) / 2.

Шаг 4: Упростим

Вынесем логарифм:

log(x) = log(2) * (3 ± √(5)) / 2.

Шаг 5: Восстанавливаем x

Теперь, чтобы вернуть x в привычный вид, воспользуемся свойством логарифмов:

x = 2^((3 ± √(5)) / 2).

Шаг 6: Находим конкретные значения

Теперь подставим значения логарифма и найдем два значения x:

1. Принимаем положительное значение:

x₁ = 2^((3 + √(5)) / 2).

2. Принимаем отрицательное значение:

x₂ = 2^((3 - √(5)) / 2).

Посчитаем эти значения. 

Шаг 7: Проверка значений

Обычно важно проверить, подходят ли найденные значения x к условиям задачи. Для поддержания положительности логарифмов в условиях уравнения (x должно быть больше 0 и не равным 1).

1. Проверка для x = 2:

log(2) > 0 и log(2) != 1, поэтому x = 2 допустимо.

2. Проверка для x = 16:

log(16) = 4 * log(2) > 0 и log(16) != 1, поэтому x = 16 также допустимо.

Ответ:

Решающее уравнение имеет два допустимых значения:

x = 2 и x = 16.

Таким образом, завершили решение логарифмического уравнения с логарифмами в знаменателе. Применение логарифмических свойств и основ любой алгебры позволяет удобно работать с такими уравнениями, делая их решение более структурированным и простым.