Как доказать равенство?

Чтобы доказать равенство  

³√(26 - √675) + ³√(26 + √675) = 4,  

мы можем воспользоваться свойствами кубических корней и некоторыми алгебраическими манипуляциями. Вот подробная схема нашего доказательства:

Шаг 1: Введение новых переменных

Обозначим:  

a = ³√(26 - √675)  
b = ³√(26 + √675)  

Таким образом, мы хотим показать, что a + b = 4.

Шаг 2: Получение кубов

Теперь посчитаем куб суммы a и b:  

(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b).  

Мы знаем, что  

a³ = 26 - √675,  
b³ = 26 + √675.  

Следовательно,  

a³ + b³ = (26 - √675) + (26 + √675) = 52.  

Шаг 3: Находим произведение ab

Чтобы найти произведение ab, используем формулу для произведения корней:  

ab = ³√((26 - √675)(26 + √675)).  

Заметим, что  

(26 - √675)(26 + √675) = 26² - (√675)² = 676 - 675 = 1.  

Таким образом,  

ab = ³√(1) = 1.  

Шаг 4: Подстановка в куб суммы

Теперь подставим все найденные значения в уравнение для (a + b)³:  

(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)  
=> (a + b)³ = 52 + 3 * 1 * (a + b).

Обозначим S = a + b. Тогда у нас получается:  

S³ = 52 + 3S.  

Шаг 5: Преобразование уравнения

Переносим все влево:  

S³ - 3S - 52 = 0.  

Шаг 6: Проверка целых корней

Теперь нужно найти корни этого кубического уравнения. Для этого можно попробовать подставить несколько целых чисел. Попробуем S = 4:  

4³ - 3 * 4 - 52 = 64 - 12 - 52 = 0.  

Получили, что S = 4 — это корень уравнения!

Шаг 7: Заключение

Таким образом, мы показали, что  

³√(26 - √675) + ³√(26 + √675) = 4,  

что и требовалось доказать.

Обсуждение

Эта задача, казалось бы, простая, но она требует умения работать с радикалами и их свойствами. Некоторые учащиеся могут упустить момент с проверкой корней, поэтому важно не только понимать, как решать такие задачи, но и проверять результаты. 

Задача может быть интересна для школьников, так как учит их не бояться использовать разные подходы и проверять себя. Применение новых переменных и работа с формулами помогает понять взаимодействие между числами.