Алгебра. Каковы решения системы уравнений?

Решение данной системы уравнений, состоящей из трех уравнений, представляется интересной задачей. Система выглядит следующим образом:

1. x + 2 = y²
2. y + 2 = z²
3. z + 2 = x²

Попробуем решить эту систему пошагово.

Шаг 1: Подстановка

Начнем с первого уравнения и выразим переменную y через x:

y² = x + 2  →  y = √(x + 2) или y = -√(x + 2)

Теперь подставим это выражение для y во второе уравнение:

y + 2 = z²  →  √(x + 2) + 2 = z² или -√(x + 2) + 2 = z²

Теперь рассмотрим оба случая.

Шаг 2: Разделение на случаи

Случай 1: y = √(x + 2)

Подставляем в y + 2 = z²:

√(x + 2) + 2 = z² 

Теперь мы можем выразить z:

z² = √(x + 2) + 2

Случай 2: y = -√(x + 2)

Теперь подставим:

-√(x + 2) + 2 = z² 

Тут также можно выразить z:

z² = -√(x + 2) + 2

Таким образом, у нас есть две возможные формулы для z в зависимости от y.

Шаг 3: Анализ уравнений

Теперь можем рассмотреть третье уравнение:

z + 2 = x² 

Подставим уравнения для z:

1-й случай:
Если z = √(x + 2) + 2:

√(x + 2) + 2 + 2 = x² 
√(x + 2) + 4 = x² 

2-й случай:
Если z = -√(x + 2) + 2:

-√(x + 2) + 2 + 2 = x² 
-√(x + 2) + 4 = x² 

Шаг 4: Решение уравнений

Теперь каждое из получившихся уравнений требует решения. После проверки нескольких значений, мы можем заметить, что решение может быть простым числом. 

Попробуем подставить значение x = 2:

1. Если x = 2:
y = √(2 + 2) = √4 = 2

z = √(2 + 2) + 2 = 2 + 2 = 4 и

z + 2 = 4 + 2 = 6, тогда x² = 2² = 4 (не подходит)

Теперь попробуем x = 2 в других случаях, после проверки разных чисел, мы находим, что:

Подставив значения, получаем:

x = 2, y = 2, z = 2

Шаг 5: Проверка

Подставляя обратно в изначальные уравнения:

1. 2 + 2 = 2² → 4 = 4 (верно)
2. 2 + 2 = 2² → 4 = 4 (верно)
3. 2 + 2 = 2² → 4 = 4 (верно)

Заключение

Таким образом, мы видим, что решением данной системы уравнений является тройка:

x = 2, y = 2, z = 2.

Это решение показывает, что несмотря на сложную структуру системы уравнений, она может иметь достаточно простые и элегантные решения.