Точки на окружности. Как решить?

Чтобы решить задачу о подсчете количества самопересекающихся ломаных из 4 отрезков, заданных 128 точками на окружности, необходимо следовать несколько шагов. Давайте подробно разберем каждый из них:

Шаг 1: Определение понятий

Перед тем как приступить к расчетам, важно понимать, что такое самопересекающаяся ломаная. Ломаная из четырех отрезков, состоящая из четырёх точек (P1, P2, P3, P4) самопересекается, если пересекаются отрезки, сформированные каждыми двумя последовательными точками.

Шаг 2: Условия самопересечения

Для самопересечения четырехточечной ломаной существуют два основных метода их пересечения:

1. **Пересечение P1P2 и P3P4**.
2. **Пересечение P1P4 и P2P3**.

Каждое из перечисленных условий будет обеспечивать самопересечение ломаной.

Шаг 3: Выбор точек

Сначала выбираем 4 точки из 128. Общее количество способов это сделать можно найти по формуле сочетаний:

\[
\text{C}(128, 4) = \frac{128!}{4! (128-4)!}
\]

Где "!" означает факториал. 

Шаг 4: Подсчет самопересекающихся ломаных

Теперь, чтобы сосчитать самопересекающиеся ломаные, необходимо определить, сколько наборов из 4 выбранных точек удовлетворяют условиям самопересечения.

Шаг 5: Разделение на категории

Предположим, что мы выбрали четыре точки: P1, P2, P3, P4 на окружности в порядке их расположения. Для того чтобы ломаная самопересекалась, необходимо, чтобы:

- В порядке по часовой стрелке (или против часовой) P1 и P3 должны лежать по разные стороны от отрезка P2P4.

Шаг 6: Количество таких комбинаций

1. Если фиксировать выбор одной из точек (например, P1), то оставшиеся три точки могут быть выбраны, так чтобы удовлетворить условиям самопересечения.

2. Из 4 точек можно выбрать 2 с 3 способами (пересечения) для каждой пары. 

3. Общее количество самопересекающихся ломаных можно посчитать так:

- Из 4 точек мы можем отобрать 2 точки, что дает нам \( \text{C}(4, 2) = 6 \) возможных пар точек, что соответствует самопересечениям.

Таким образом, итоговое количество самопересекающихся ломаных:

\[
\text{Количество самопересекающихся ломаных} = k \times \text{C}(128, 4)
\]

где k - определенное число пар пересечения.

Шаг 7: Подсчет финального результата

Теперь можно суммировать все полученные результаты. Итоговый ответ будет зависеть от суммы всех возможных пар самопересечения.

Заключение

Мы рассмотрели основные шаги для решения задачи о нахождении самопересекающихся ломаных из 4 отрезков на окружности с 128 точками. С помощью формул сочетаний и анализа условий самопересечения, вы можете сосчитать необходимое количество ломаных.