Как найти объем параллелепипеда по координатам его вершин?

Чтобы найти объем параллелепипеда, образованного тремя векторами, заданными вершинами, необходимо использовать формулу, основанную на скалярном произведении и определителе. Давайте разберем вашу задачу по шагам.

Шаг 1: Определение четырех точек

У нас есть четыре точки:
- A(2, -2, -4)
- B(3, -6, -6)
- D(3, 0, -8)
- A1(-2, -3, -3)

Шаг 2: Определение векторов

Для построения параллелепипеда нам нужно найти три вектора, исходящие из одной точки. Обычно это будет точка A. 

- Вектор AB:
  - AB = B - A = (3 - 2, -6 + 2, -6 + 4) = (1, -4, -2)

- Вектор AD:
  - AD = D - A = (3 - 2, 0 + 2, -8 + 4) = (1, 2, -4)

- Вектор AA1:
  - AA1 = A1 - A = (-2 - 2, -3 + 2, -3 + 4) = (-4, -1, 1)

Таким образом, мы получили следующие векторы:
- AB = (1, -4, -2)
- AD = (1, 2, -4)
- AA1 = (-4, -1, 1)

Шаг 3: Нахождение объема параллелепипеда

Объем параллелепипеда можно найти с помощью абсолютного значения смешанного произведения этих трех векторов. Смешанное произведение векторов *u*, *v* и *w* можно выразить через определитель матрицы, составленной из координат этих векторов:

\ V = | \text{det}(AB, AD, AA1) | \

Чтобы вычислить определитель, мы составляем матрицу, в которой строки (или столбцы) содержат координаты векторов:

\
\begin{vmatrix}
1 & -4 & -2 \
1 & 2 & -4 \
-4 & -1 & 1
\end{vmatrix}
\

Шаг 4: Вычисление определителя

Вычислим определитель данной матрицы:

\
\text{det}(AB, AD, AA1) = 1 \cdot 
\begin{vmatrix}
2 & -4 \
-1 & 1
\end{vmatrix}
- (-4) \cdot 
\begin{vmatrix}
1 & -4 \
-4 & 1
\end{vmatrix}
- 2 \cdot 
\begin{vmatrix}
1 & 2 \
-4 & -1
\end{vmatrix}
\

Сначала найдем два малых определителя:

1. \ \begin{vmatrix} 2 & -4 \ -1 & 1 \end{vmatrix} = (2 \cdot 1) - (-4 \cdot -1) = 2 - 4 = -2 \

2. \ \begin{vmatrix} 1 & -4 \ -4 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1) - (-4 \cdot -4) = 1 - 16 = -15 \

3. \ \begin{vmatrix} 1 & 2 \ -4 & -1 \end{vmatrix} = (1 \cdot -1) - (2 \cdot -4) = -1 + 8 = 7 \

Теперь подставим найденные значения обратно в определитель:

\
\text{det}(AB, AD, AA1) = 1 \cdot (-2) + 4 \cdot (-15) - 2 \cdot 7
\
\
= -2 - 60 - 14 = -76
\

Шаг 5: Определение объема

Объем параллелепипеда будет равен абсолютному значению определителя:

\ V = | -76 | = 76 \

Таким образом, объем параллелепипеда, образованного векторами AB, AD и AA1, равен 76.