Как доказать несобственный интеграл?

Чтобы доказать несобственный интеграл от функции e^(-x²) на всей оси, то есть

∫(от -∞ до +∞) e^(-x²) dx = √π, 

предлагаю следующий шаг за шагом подход.

Шаг 1: Определение интеграла

Начнем с определения интеграла I:

I = ∫(от -∞ до +∞) e^(-x²) dx.

Поскольку этот интеграл является несобственным, мы можем выразить его как предел обычного интеграла:

I = lim (t→∞) ∫(от -t до t) e^(-x²) dx.

Шаг 2: Оценка интеграла

Важно понять, что функция e^(-x²) быстро убывает к нулю при x, стремящемся к ±∞. Этот факт позволит нам затем использовать результаты о конечных интегралах. Теперь оценим интеграл в конечных пределах:

∫(от -t до t) e^(-x²) dx.

Шаг 3: Использование симметрии

Функция e^(-x²) является четной, то есть e^(-x²) = e^(-(-x)²). Следовательно, можно упростить интеграл:

I = 2 * ∫(от 0 до ∞) e^(-x²) dx.

Шаг 4: Применение метода площадей

Чтобы оценить этот интеграл, мы можем воспользоваться методом двойного интеграла. Рассмотрим два интеграла:

I² = ∫(от -∞ до +∞) e^(-x²) dx * ∫(от -∞ до +∞) e^(-y²) dy.

Этот интеграл можно представить в двумерной плоскости:

I² = ∫∫ e^(-(x² + y²)) dx dy.

Шаг 5: Переход к полярной системе координат

Теперь, чтобы вычислить этот двойной интеграл, удобно перейти к полярным координатам. Используем следующие преобразования:

x = r * cos(θ), 

y = r * sin(θ), 

где r - радиус, а θ - угол.

Определим элемент площади в полярных координатах: dx dy = r dr dθ.

Подставим это в интеграл:

I² = ∫(от 0 до 2π) dθ ∫(от 0 до ∞) e^(-r²) r dr.

Шаг 6: Вычисление интегралов

Сначала вычислим интеграл по r:

∫(от 0 до ∞) e^(-r²) r dr.

Пусть u = r², тогда du = 2r dr или dr = du/(2√u). Замена пределов: 

при r = 0, u = 0; при r = ∞, u = ∞.

Теперь изменяем интеграл:

1/2 * ∫(от 0 до ∞) e^(-u) du = 1/2.

Теперь возвращаемся к I²:

I² = ∫(от 0 до 2π) dθ * (1/2) = (1/2) * (2π) = π.

Шаг 7: Получение результатов

Таким образом, мы получили:

I² = π, 

откуда I = √π.

Итак, завершили подтверждение:

∫(от -∞ до +∞) e^(-x²) dx = √π.

Заключение

Доказательство того, что интеграл ∫(от -∞ до +∞) e^(-x²) dx равен √π, основано на методе симметрии и применении полярных координат, что позволило вычислить двойной интеграл. Этот подход демонстрирует мощь методов интегрального исчисления для решения сложных задач.