Как решить числовую задачу?

Решение задачи с числами на доске требует стратегического подхода. Давайте разложим все по пунктам, чтобы понять, как можно добиться наилучшего результата.

### Шаг 1: Понимание операции

Сначала разберём, как работает операция, которую мы выполним над числами. Пусть мы стерли числа A и B, тогда на их место мы запишем:

\
C = \frac{A \cdot B}{A + B}
\

Это выражение можно проанализировать, чтобы понять, как же оно влияет на итоговое число.

### Шаг 2: Свойства операции

Обратите внимание на следующее:

- Если A и B — положительные числа, то C всегда будет положительным.
- При этом значение C будет находиться в промежутке между A и B. То есть, значение нового числа меньше или равно максимуму из двух, но больше или равно минимуму.
  
Это означает, что такая операция не может "вывести" нас за пределы значений, которые мы разместили на доске.

### Шаг 3: Поиск наилучшей стратегии

Чтобы получить наибольшее число, следует стремиться к минимизации уменьшаемых значений. Это можно сделать следующим образом:

1. На каждом шаге выбирайте два наименьших числа на доске. Таким образом, новые числа, получаемые через операцию, будут влиять на конечный результат наименьшим образом.
2. Процесс повторяйте, пока на доске останется одно число.

### Шаг 4: Применение процесса

Давайте нарисуем пример. Начнём с набора: 

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128.

1. Стереть 1 и 2. Получается:

\
C_1 = \frac{1 \cdot 2}{1 + 2} = \frac{2}{3}
\

Новый массив: 4, 8, 16, 32, 64, 128, теперь 2/3.

2. Затем стереть 2/3 и 4. Получаем:

\
C_2 = \frac{(2/3) \cdot 4}{(2/3) + 4} = \frac{8/3}{(2 + 12)/3} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}
\

И далее, этот процесс продолжается, пока не останется одно число.

### Шаг 5: Конечный результат 

На практике, однако, лучше выбирать более крупные числа, а не мелкие дроби. Мы знаем, что в конце, скорее всего, результат будет стремиться к:

\
C = 64 \text{ или } 128
\

где 128 является конечным результатом.

### Наиболее выгодные операции

Поискав различные комбинации, можно выявить, что начиная с двух самых больших чисел (например, 128 и 64) приведет к более высоким итоговым значениям, чем выбор самых маленьких.

### Заключение

Изучая различные возможности и пытаясь повторять процесс, в конечном итоге можно утверждать, что наибольшее возможное значение, которое может остаться на доске — 128 — это будет стратегически наилучший выбор при использовании операции. Лучше всегда сосредотачиваться на числах, которые будут давать результат, стремящийся к максимальному значению. 

Запомните, что важно не только уметь выполнять математические операции, но и понимать, как они влияют на итоговые значения в процессе, и давать правильные рекомендации для достижения наилучшего результата.