На окружности задано 7 точек. Как решить?

Рассмотрим задачу о 7 точках, расположенных на окружности, и выясним, сколько различных фигур можно построить.

1) Сколько можно нарисовать 4-угольников?

Для построения 4-угольника из 7 заданных точек на окружности нужно выбрать 4 точки. Это можно делать с помощью сочетаний, поскольку порядок выбора не важен.

Формула для вычисления числа сочетаний выглядит так:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

Где:
- n — общее количество точек,
- k — количество точек, которые мы выбираем,
- "!" обозначает факториал.

В нашем случае n = 7 и k = 4:

C(7, 4) = 7! / (4! * (7 - 4)!) = 7! / (4! * 3!) = (7 * 6 * 5) / (3 * 2 * 1) = 35

Таким образом, количество 4-угольников, которые можно нарисовать из 7 точек на окружности, равно 35.

2) Сколько можно нарисовать замкнутых ломаных из 4 звеньев (в том числе с самопересечением)?

Замкнутая ломаная — это последовательность точек, соединившая их в кольцо. Для построения замкнутой ломаной из 4 звеньев мы также выбираем 4 точки. Однако для замкнутой ломаной порядок имеет значение, и поскольку мы замыкаем ломаную, то число различных замкнутых ломаных мы можем подсчитать следующим образом.

Сначала выберем 4 точки из 7:

C(7, 4) = 35 (как мы уже выяснили).

Теперь переставим эти 4 точки. Количество способов перестановки 4 точек:

4! = 24

Однако, поскольку ломаная замкнута, каждую последовательность мы можем считать в разных начальных точках, а это добавляет избыточность в подсчет. Так, мы можем зафиксировать одну из точек в начале, и тогда для оставшихся 3 точек будет:

3! = 6

Поэтому общее количество замкнутых ломаных будет:

Количество = C(7, 4) * 3! = 35 * 6 = 210

3) Сколько можно нарисовать незамкнутых ломаных из 4 звеньев?

Незамкнутая ломаная просто соединяет последовательность точек и может начинаться с любой из выбранных 4 точек. 

Сначала выбираем 4 точки из 7:

C(7, 4) = 35.

Теперь переставляем выбранные 4 точки. Поскольку порядок имеет значение (и начальная точка не фиксирована), пишем:

4! = 24.

Таким образом, общее количество незамкнутых ломаных из 4 звеньев равно:

Количество = C(7, 4) * 4! = 35 * 24 = 840.

Резюме

- **Количество 4-угольников:** 35
- **Количество замкнутых ломаных из 4 звеньев:** 210
- **Количество незамкнутых ломаных из 4 звеньев:** 840

Эти результаты показывают, как много различных фигур можно получить, используя комбинации и перестановки. Решение задач по комбинаторике не только развивает математические навыки, но и помогает лучше понять принципы, лежащие в основе множества областей — от теории графов до дизайна и архитектуры.