Пирамида в углу. Как решить?

Для того чтобы найти расстояние от начала координат O(0, 0, 0) до плоскости, заданной тремя точками A(1, 0, 0), B(0, 1, 0) и C(0, 0, 1), следуйте следующим шагам:

Шаг 1: Найдите векторы AB и AC

Сначала мы найдём два вектора, которые лежат в плоскости ABC:

- Вектор AB можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки B:

  AB = B - A = (0, 1, 0) - (1, 0, 0) = (-1, 1, 0)

- Вектор AC также можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки C:

  AC = C - A = (0, 0, 1) - (1, 0, 0) = (-1, 0, 1)

Шаг 2: Найдите векторное произведение векторов AB и AC

Чтобы получить нормальный вектор к плоскости, нужно вычислить векторное произведение векторов AB и AC. Оно обозначается как n = AB x AC.

Вычислим:

n = AB x AC = |i   j   k|
               |-1  1   0|
               |-1  0   1|

Запишем детерминант:

n = i(11 - 00) - j(-11 - 0-1) + k(-10 - (-1)1)

n = i(1) - j(-1) + k(1)

Таким образом, нормальный вектор (n) равен (1, 1, 1).

Шаг 3: Найдите уравнение плоскости

Уравнение плоскости можно записать в виде:

n1  (X - X0) + n2  (Y - Y0) + n3  (Z - Z0) = 0,

где (n1, n2, n3) – координаты нормального вектора, а (X0, Y0, Z0) – координаты одной из точек на плоскости (например, A).

Подставляя наши значения, получаем:

1  (X - 1) + 1  (Y - 0) + 1  (Z - 0) = 0.

Это уравнение упрощается до:

X + Y + Z - 1 = 0.

Шаг 4: Найдите расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки O(0, 0, 0) до плоскости, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно выразить формулой:

Расстояние = |A  X0 + B  Y0 + C  Z0 + D| / √(A² + B² + C²),

где (X0, Y0, Z0) – координаты точки O, а A, B, C, D – коэффициенты из уравнения плоскости.

Подставим наши значения в формулу:

- A = 1, B = 1, C = 1 и D = -1.

Теперь вычислим:

Расстояние = |1  0 + 1  0 + 1  0 - 1| / √(1² + 1² + 1²),

Расстояние = |-1| / √(1 + 1 + 1) = 1 / √3.

Шаг 5: Итог

Таким образом, расстояние от начала координат O(0, 0, 0) до плоскости ABC составляет 1/√3 или приблизительно 0.577.

Эти шаги помогают понять процесс нахождения расстояния от точки до плоскости в трёхмерной геометрии, что является важной частью многих задач в математике и физике.