Как решить задачу о параболе с параметром?

Чтобы разобраться, как движется вершина параболы при изменении параметра "a", давайте поэтапно проанализируем данное уравнение параболы:

**1. Уравнение параболы:**

Начнем с уравнения параболы, заданного в условии:

y = x^2 + (2a + 2)x - (3a^2 + 4a).

Это уравнение представляет собой параболу, и нам нужно найти координаты её вершины.

**2. Координаты вершины параболы:**

В общем случае координаты вершины параболы, заданной в виде y = Ax^2 + Bx + C, находятся по следующим формулам:

- x_в = -B / (2A)
- y_в = -D / (4A), где D - дискриминант.

В нашем случае:

- A = 1 (коэффициент перед x^2)
- B = (2a + 2)
- C = -(3a^2 + 4a)

Подставим значение "A" и "B" в формулу для нахождения x_в:

x_в = - (2a + 2) / (2 * 1) = - (2a + 2) / 2 = - (a + 1).

Теперь подставим значение x_в в уравнение для вычисления y_в. Подставим x_в в оригинальное уравнение:

y_в = (- (a + 1))^2 + (2a + 2)(- (a + 1)) - (3a^2 + 4a).

**3. Упрощение y_в:**

Теперь подставим и упростим:

y_в = (a + 1)^2 - (2a + 2)(a + 1) - (3a^2 + 4a).

Раскроем скобки и упрощение:

= (a^2 + 2a + 1) - (2a^2 + 2a + 2 + 4a) - (3a^2 + 4a)
= a^2 + 2a + 1 - 2a^2 - 6a - 2 - 3a^2 - 4a
= -4a^2 - 8a - 1.

Итак, координаты вершины параболы (x_в, y_в) являются:

- x_в = - (a + 1)
- y_в = -4a^2 - 8a - 1.

**4. Параметрическая зависимость и движение вершины:**

Теперь рассмотрим движение вершины параболы в зависимости от изменения параметра "a". Можно выразить координаты вершины как функции от "a":

x = - (a + 1)  и  y = -4a^2 - 8a - 1.

Эти два выражения задают движение вершины параболы в зависимости от параметра "a".

**5. Образец траектории:**

Теперь нам нужно убрать "a" и изучить, какое уравнение мы можем записать для траектории:

1. Из первого равенства выразим "a":

a = - (x + 1).

2. Подставим это значение "a" во второе уравнение:

y = -4(- (x + 1))^2 - 8(- (x + 1)) - 1
= -4(x^2 + 2x + 1) + 8(x + 1) - 1
= - 4x^2 - 8x - 4 + 8x + 8 - 1
= - 4x^2 + 3.

Таким образом, траектория движения вершины параболы описывается выражением:

y = -4x^2 + 3.

**6. Заключение:**

Таким образом, при изменении параметра "a" вершина параболы будет двигаться по параболе, заданной уравнением:

y = -4x^2 + 3.

Это — парабола, открывающаяся вниз, с вершиной в точке (0, 3).