Как решить задачу про фокусников?

Чтобы решить фокус с числами, который демонстрируют Петя и Вася, нужно воспользоваться свойствами комбинаторики и теории множеств. Рассмотрим, как фокус может быть осуществлён при различных условиях.

Решение задачи

1. Предположения и вводные данные:
   - Зритель задумывает 6 разных целых чисел в диапазоне от 1 до 125.
   - Петя знает все 6 чисел, а Вася должен угадать одно из них, зная только 5.

2. Алгоритм действий:

   - Пусть задуманные числа будут обозначены как  a1, a2, a3, a4, a5, a6.
   - Выберем одно число в качестве "шестого", которое Вася должен угадать. 
   - Для этой цели удобно использовать свойства разности и модульного деления.

3. Определение "шестого" числа:
   - Пусть Петя выберет одно число, которое будет угадано Васей, на основании некоторого правила. Например, пусть это будет максимальное число из 6. Таким образом, a6 = max(a1, a2, a3, a4, a5, a6).

4. Передача информации:
   - Петя выбирает 5 чисел, включая a6, и отправляет их Васе.
   - Таким образом, Вася видит 5 чисел и, сравнив их между собой, может вычислить, какое из 6 известного ему числа в данной группе - максимальное.
  
Пример:
Допустим, задуманные числа: 10, 20, 30, 40, 50, 60. 

- Петя выбирает 50 (например, максимальное число).
- Из 5 чисел, которые он отправляет Васе, может быть 10, 20, 30, 40, 50. 

Теперь Вася, видя эти числа, понимает, что максимальное из них — 50.

Вопрос (б): Указание зрителем необходимых чисел

Теперь перейдем к вопросу, сможем ли мы добиться успеха, если зритель указывает Пете, какие 5 из 6 чисел он должен выбрать. 

1. Сложности:
   - Если зритель сам выбирает 5 чисел, то он может каким-то образом манипулировать информацией и выбором, что усложняет задачу.

2. Ситуация:
   - Пусть зритель выбирает, например, 5 чисел из 6 так, что он оставляет одно число — это может быть число, которое очень близко к максимальному.
   - В этом случае фокус теряет свою предсказуемость, ведь пятерка из выбранных мог бы не указывать на определенные свойства оставшегося числа, которые позволили бы Васе угадать его.

3. Заключение:
   - При условии, что зритель выбирает 5 чисел, фокус становится неосуществимым. В этом сценарии зритель имеет больше контроля, и Петя не сможет гарантировать, что Вася сможет угадать правильное число, так как информация о максимуме или других характеристиках может быть потеряна.

Таким образом, гарантировать успех фокуса можно лишь тогда, когда Петя самостоятельно выбирает 5 чисел.