Как решить заменой уравнение 4 степени?

Для решения уравнения четвертой степени (x + 2)(x + 3)(x + 8)(x + 12) = 4x² с использованием замены переменной, мы можем следовать пошаговой процедуре. Мы хотим сделать уравнение более простым для дальнейшего анализа и решения. 

Шаг 1: Раскрытие скобок

Начнем с раскрытия левой части уравнения. У нас есть произведение четырех линейных множителей:

(x + 2)(x + 3)(x + 8)(x + 12)

Сначала произведем первые два множителя:

A = (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6

Теперь произведем оставшиеся два множителя:

B = (x + 8)(x + 12) = x² + 20x + 96

Теперь у нас есть два квадратных выражения:

A = x² + 5x + 6

B = x² + 20x + 96

Теперь перемножим A и B:

(x² + 5x + 6)(x² + 20x + 96)

Шаг 2: Перемножение квадратных выражений

Для удобства перемножим эти два выражения. Используем формулу (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd:

C = (x²)(x²) + (x²)(20x) + (x²)(96) + (5x)(x²) + (5x)(20x) + (5x)(96) + (6)(x²) + (6)(20x) + (6)(96)

После упрощения, мы получим:

C = x⁴ + 25x³ + 126x² + 510x + 576

Шаг 3: Установление уравнения

Теперь у нас есть уравнение:

x⁴ + 25x³ + 126x² + 510x + 576 = 4x²

Переместим все элементы на одну сторону уравнения:

x⁴ + 25x³ + 122x² + 510x + 576 = 0

Шаг 4: Замена переменной

Теперь мы можем использовать замену, чтобы упростить уравнение. Предложенная замена y = x² + bx + c не всегда будет удачной, поэтому вместо этого давайте воспользуемся другой заменой.

Мы можем использовать более простую замену переменной:

y = x²

И тогда:

x = √y или x = -√y

Подставим y в уравнение:

y² + 25√y + 122y + 510√y + 576 = 0

Что усложнит задачу, так как мы привели к нелинейному уравнению.

Шаг 5: Численное решение

После этого можно применять численные методы, такие как метод Ньютона или метод деления пополам, для нахождения корней.

Либо возвращаемся к исходному уравнению и пробуем простые подстановки, так как это полином 4 степени и можно ожидать малое количество целых корней.

Сначала попробуем подставить целые числа, такие как x = -2, x = -3, x = -4 и т.д., чтобы найти корни.

Шаг 6: Проверка корней

Проверив некоторые значения, мы можем получить какие-то корни, а оставшиеся будут найдены с помощью формул корней или с помощью численных методов.

Подводя итог, можно отметить, что данное уравнение требует тщательного подхода. Попробуйте также графически представить, чтобы найти пересечения.

Если нужны более детализированные объяснения — дайте знать, и я с радостью помогу!