Как решить этот интеграл с квадратным корнем?

Давайте рассмотрим интеграл вида:

∫ (dx / (x^2 * √(x^2 - 1)))

Мы будем решать его шаг за шагом. Для начала, давайте попробуем сделать соответствующую замену переменных, которая упростит структуру интеграла. Часто в интегралах с корнями используются тригонометрические подстановки.

Шаг 1: Подстановка

Мы используем подстановку:

x = sec(θ)

Это связано с тем, что при этой подстановке √(x^2 - 1) = √(sec^2(θ) - 1) = √(tan^2(θ)) = tan(θ).

Также помните, что производная sec(θ) равна sec(θ)tan(θ). Таким образом, дифференциал становится:

dx = sec(θ)tan(θ)dθ

Шаг 2: Замена в интеграле

Теперь подставим все эти значения в интеграл:

∫ (dx / (x^2 * √(x^2 - 1)))

= ∫ (sec(θ)tan(θ)dθ / (sec^2(θ) * tan(θ)))

= ∫ (sec(θ)dθ / sec^2(θ))

= ∫ (cos(θ)dθ)

Шаг 3: Интегрирование

Теперь нам нужно интегрировать cos(θ):

∫ cos(θ) dθ = sin(θ) + C

Шаг 4: Обратная подстановка

Теперь вернемся к переменной x. Напомним, что мы сделали подстановку x = sec(θ), откуда следуют:

sin(θ) = √(1 - cos^2(θ)) = √(1 - 1/x^2) = √((x^2 - 1)/x^2) = √(x^2 - 1) / x.

Таким образом:

sin(θ) = √(x^2 - 1) / x.

Подставляя это обратно в выражение, мы получаем:

∫ (dx / (x^2 * √(x^2 - 1))) = √(x^2 - 1) / x + C.

Шаг 5: Запись результата

Поскольку мы успешно интегрировали данный интеграл, в окончательной форме ответ будет:

∫ (dx / (x^2 * √(x^2 - 1))) = √(x^2 - 1) / x + C.

Дополнительные примечания

- Важно помнить о том, что тригонометрические подстановки особенно удобны для интегралов, содержащих корни вида √(x^2 - a^2). 
- Если у вас есть ограничения на x (например, x > 1 для данной подстановки), учитывайте это при подготовке окончательного ответа. 
- Такой подход демонстрирует, как входят тригонометрия и подстановка в анализ более сложных интегралов.

Надеюсь, этот пост был вам полезен и помог понять, как решить подобный интеграл!