Ответы на вопрос » образование » Как найти сумму бесконечного убывающего ряда?
                                 
Задавайте вопросы и получайте ответы от участников сайта и специалистов своего дела.
Отвечайте на вопросы и помогайте людям узнать верный ответ на поставленный вопрос.
Начните зарабатывать $ на сайте. Задавайте вопросы и отвечайте на них.
Закрыть меню
Вопросы без Ответа Радио


Как найти сумму бесконечного убывающего ряда?


опубликовал 17-03-2025, 11:45
Как найти сумму бесконечного убывающего ряда?


Ответы на вопрос:

  1. Гена
    Gena 3 апреля 2025 00:32

    отзыв нравится 0 отзыв не нравится

    Чтобы найти сумму бесконечного убывающего ряда 

    2 + 3*2/2 + 4*3/2² + 5*4/2³ + ... + (n+1)*n/2^(n-1),

    мы можем следовать определённому алгоритму. Давайте детально разберем этот процесс по пунктам.

    1. Определим общий член ряда

    Обозначим общий член ряда как 

    a_n = (n + 1) * n / 2^(n - 1).

    2. Найдем сумму ряда

    Теперь нам необходимо найти 

    S = ∑ a_n от n = 1 до ∞.

    Запишем явную формулу для суммы:

    S = 2 + (3*2)/2 + (4*3)/2² + (5*4)/2³ + ...

    То есть это выражение можно записать как:

    S = ∑ (n + 1) * n / 2^(n - 1) от n = 1 до ∞.

    3. Упростим сумму

    Чтобы упростить определение суммы, воспользуемся свойствами рядов и некоторыми известными формулами. Попробуем использовать следующие известные способы для работы с рядами:

    - Сначала мы можем учесть производные функции. Известно, что 

    ∑ x^n = 1 / (1 - x) для |x| < 1. 

    Теперь найдем производную этой функции:

    ∑ n x^(n-1) = 1 / (1 - x)².

    Если мы снова умножим на x, то получим:

    ∑ n x^n = x / (1 - x)².

    4. Применим полученное к нашей задаче

    Теперь заметим, что наш ряд можно разбить на две части:

    S = ∑ n x^n + ∑ x^n = x / (1 - x)² + 1 / (1 - x).

    Принимаем x = 0.5. Подставим значение:

    S = (0.5) / (1 - 0.5)² + 1 / (1 - 0.5)
       = (0.5) / (0.5)² + 1 / 0.5
       = 2 + 2 = 4.

    5. Проверим условия сходимости

    Мы можем заметить, что ряд убывает, так как знаменатель в каждом n-ом члене растёт, а числитель — нет. При этом для самого большого значения n, cоответствующее значение a_n будет стремиться к нулю, что обеспечивает сходимость ряда.

    6. Итог

    Таким образом, мы нашли сумму бесконечного убывающего ряда:

    **S = 4**.

    Это довольно интересный ряд, который показывает, как можно применять формулы для нахождения сумм, используя производные и свойства геометрических рядов. 

    Понимание таких рядов может быть полезным в различных областях, будь то физика, экономика, или даже в теории вероятностей. Используя различные методы, мы можем адаптировать подход под конкретные задачи, которые мы решаем.

    Ссылка на ответ | Все вопросы
    03
    04
Добавить ответ
Ваше Имя:
Ваш E-Mail:
Введите два слова, показанных на изображении: *




Показать все вопросы без ответов >>