Задача. Какова высота стеклянной кружки вместимостью 700 мл?

Для решения задачи нам необходимо определить высоту боковой поверхности стеклянной кружки, которая представляет собой усеченный конус, имея данные о различных уровнях жидкости в ней. Рассмотрим шаги, необходимые для вычисления.

Шаг 1: Обозначение переменных 

Обозначим следующие параметры кружки:

- h — высота боковой поверхности усеченного конуса (в чем мы заинтересованы).
- R_б — радиус верхнего основания усеченного конуса.
- R_н — радиус нижнего основания усеченного конуса.
- H_н — высота нижнего конуса (если бы он был целиком).
- V_1 = 80 мл — объем воды при первом уровне (40 мм).
- V_2 = 260 мл — объем воды при втором уровне (100 мм).
- h_1 = 40 мм — высота первого уровня воды.
- h_2 = 100 мм — высота второго уровня воды.

Шаг 2: Расчет объемов

Объем усеченного конуса можно рассчитать с помощью формулы:

\ V = \frac{1}{3} \pi h (R_б^2 + R_н^2 + R_б \cdot R_н) \

Где h — высота жидкости в конусе.

# Объем первого уровня (V_1)

Для V_1 = 80 мл:

- Сначала найдем радиусы оснований, требуемые для данного уровня h_1 = 40 мм.
- Подставим h_1 в формулу, чтобы выразить этот объем:

\ V_1 = \frac{1}{3} \pi h_1 (R_{б1}^2 + R_{н1}^2 + R_{б1} \cdot R_{н1}) \

Где R_{б1} и R_{н1} — радиусы на уровне h_1. Из этой формулы мы можем выразить R через h, но для этого нам нужно будет работать с пропорциями.

# Объем второго уровня (V_2)

Теперь для V_2 = 260 мл:

- Аналогично, подставляем h_2 = 100 мм:

\ V_2 = \frac{1}{3} \pi h_2 (R_{б2}^2 + R_{н2}^2 + R_{б2} \cdot R_{н2}) \

Шаг 3: Пропорции радиусов

Так как кружка имеет форму усеченного конуса, радиусы будут пропорциональны высоте. Поделим радиусы на соответствующие высоты:

\ \frac{R_{б1}}{h_1} = \frac{R_{б2}}{h_2} \rightarrow R_{б1} = R_{б2} \cdot \frac{h_1}{h_2} \

Аналогично для R_{н1} и R_{н2}.

Шаг 4: Решение системы уравнений

Мы можем составить систему уравнений, используя два найденных ранее выражения, и решить её относительно h.

1. Подставьте высоту из первого выражения (R_{б1} и R_{н1}) в V_1.
2. Затем подставьте это в V_2.
3. Система уравнений поможет найти требуемые пропорции и затем высоту боковой поверхности h.

Шаг 5: Подсчет

После того как хотите подставить значения для радиусов в объемы, можно будет высчитать значение h, используя полученные результаты. Подсчеты потребуют некоторого количества алгебры и, возможно, численного метода, если упростить для h не удается.

Заключение

В конечном итоге, получив значение высоты h, вы определите высоту боковой поверхности кружки, которая соответствует вместимости 700 мл. Не забудьте проверить единицы измерения и корректность всех операций!

Это общая схема решения задачи, которая может быть уточнена или затемнена в зависимости от конкретных условий или других данных. Если будут нужны дополнительные пояснения — я всегда готов помочь!