Как решить задачу про окружность, касающуюся трех сторон трапеции?

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, касающуюся ее трех сторон (двух боковых и меньшего основания), можно использовать несколько шагов. Рассмотрим прямоугольную трапецию ABCD, где AB - верхнее основание, CD - нижнее основание, AD и BC - боковые стороны.

Шаг 1: Определение параметров трапеции

Обозначим:
- AB = c (меньшее основание)
- CD = a (большее основание)
- AD = b (левая боковая сторона)
- BC = a (правая боковая сторона)

Шаг 2: Формула для нахождения радиуса вписанной окружности

Радиус вписанной окружности R может быть найден с использованием формулы:

R = (S / p),

где S - площадь трапеции, а p - полупериметр.

Шаг 3: Вычисление площади S

Площадь S прямоугольной трапеции можно найти по формуле:

S = (a + c) * h / 2,

где h — высота трапеции. Высоту легко найти через боковую сторону b и угол прямого наклона:

h = sqrt( b^2 - ((a - c) / 2)^2 ),

так как боковая сторона b является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного высотой h и половиной разности оснований.

Шаг 4: Вычисление полупериметра p

Полупериметр p можно определить как:

p = (a + b + c) / 2.

Шаг 5: Подстановка в формулу для R

Теперь, зная S и p, подставляем их в формулу для радиуса R:

R = ( (a + c) * h / 2 ) / ( (a + b + c) / 2 ).

После упрощения формулы получается:

R = ( (a + c) * h ) / ( a + b + c ).

Шаг 6: Пример использования формул

Предположим, у нас есть трапеция с платформами:
- a = 8 (большее основание)
- c = 4 (меньшее основание)
- b = 5 (боковая сторона)

1. Вычисляем высоту h:

h = sqrt( 5^2 - ((8 - 4) / 2)^2 ) = sqrt( 25 - 4 ) = sqrt( 21 ).

2. Теперь находим площадь S:

S = ( 8 + 4 ) * sqrt( 21 ) / 2 = 6 * sqrt( 21 ).

3. Затем вычисляем полупериметр p:

p = ( 8 + 5 + 4 ) / 2 = 8.5.

4. Подставляем все значения в формулу для R:

R = ( (8 + 4) * sqrt( 21 ) ) / ( 8 + 5 + 4 ) = ( 12 * sqrt( 21 ) ) / 17.

Теперь с помощью этих шагов можно вычислить радиус окружности, описанной вокруг данной прямоугольной трапеции.

Пояснения и замечания

- Важно помнить, что радиус вписанной окружности существует только в том случае, если трапеция "схватывает" свою окружность с трех сторон.
- Боковые стороны в прямоугольной трапеции всегда перпендикулярны основаниям, что делает вычисления проще.
- Если у вас возникают сложности с нахождением высоты, можно использовать дополнительные методы, например, путь через координаты вершин тарпеции.

Надеюсь, это объяснение будет полезным и понятным для вас!