Сколько раз секундная и часовая стрелки за сутки образуют угол 30 градусов?

Чтобы выяснить, сколько раз за сутки часовую и секундную стрелки часов образуют угол 30 градусов, нужно внимательно рассмотреть положение стрелок и время, в которое они совпадают или образуют данный угол.

### Шаг 1: Определение скорости стрелок
1. Скорость часовой стрелки: Часовая стрелка делает полный оборот (360 градусов) за 12 часов. Это значит, что её скорость составляет:
   - 360 градусов / 12 часов = 30 градусов в час.

2. Скорость секундной стрелки: Секундная стрелка делает полный оборот (360 градусов) за 60 секунд. Скорость её движения составляет:
   - 360 градусов / 60 секунд = 6 градусов в секунду.

### Шаг 2: Уравнение угла между стрелками
Угол между часовой и секундной стрелками можно вычислить в любой момент времени t (в часах), как разность углов, которые проходят стрелки:
- Угол часовой стрелки: θч = 30t
- Угол секундной стрелки: θс = 360  s / 60 (где s - секунды)
- Следовательно, угол между стрелками:
  - U(t) = θс - θч

### Шаг 3: Найти моменты, когда угол равен 30 градусам
Задача заключается в нахождении t и s таких, что |U(t)| = 30 градусов. Будем искать сначала углы в 30 градусов и затем в 330 градусов (это эквивалентный угол, но с другой стороны).

1. Если U(t) = 30:
   - 360s/60 - 30t = 30
   - 6s - 30t = 30
   - 6s = 30t + 30
   - s = 5t + 5

2. Если U(t) = 330:
   - 360s/60 - 30t = 330
   - 6s - 30t = 330
   - 6s = 30t + 330
   - s = 5t + 55

### Шаг 4: Определение периодов
Секундная стрелка делает полный круг каждые 60 секунд или раз в минуту. Таким образом, мы можем найти общее количество раз, когда углы 30 и 330 градусов встречаются за 12 часов.

1. Для t от 0 до 12 часов: 720 минут, т.е. 720  60 = 43200 секунд.
2. Подсчитаем количество p (где p - целое количество минут): за 12 часов равномерно распределены моменты пересечения углов 30 и 330 градусов.
3. Каждое значение t (целое число) должно дать в 5t + 5 и 5t + 55 значения s, которые делятся на 60 и укладываются в пределы 0 < s < 60.

### Шаг 5: Общее количество
Проверяем, сколько решений даёт два уравнения. Основываясь на исследованных вами уравнениях, найдём количество «доступных» s.
Каждая формула даёт 12 решений каждый час (6 раз на каждое уравнение).

### Итог
Итак, за 12 часов (или 720 минут) угол в 30 градусов образуется 22 раза (или 44 раза за 24 часа), если учитывать оба уравнения.

Подводя итог, в течение суток секундная и часовая стрелки часов образуют угол в 30 градусов 44 раза.