Как решить задачу про круговую трассу с заправками для автомобиля?

Задача о круговой трассе с заправками действительно является классическим примером, демонстрирующим выбор оптимального старта для завершения кругового маршрута с ограниченным количеством топлива. Давайте рассмотрим это более подробно.

Описание задачи

На круговой трассе находятся несколько бензозаправок с различным количеством топлива. Суммарное количество топлива на заправках равно расстоянию, которое можно проехать по трассе за один круг. Наша цель – найти хотя бы одну заправку, начиная с которой автомобиль сможет завершить полный круг, имея изначально пустой бак.

Пошаговое объяснение решения

1. Обозначим позиции: Пусть заправки обозначаются как A1, A2, ..., An. Каждая заправка имеет определенное количество топлива f_i и находится в позиции d_i на трассе.

2. Определим топливо и потребление: Пусть расстояние между двумя заправками A_i и A_{i+1} равно d_i. Мы знаем, что автомобиль, заправляясь на всех заправках, может проехать весь круг.

3. Топливо в каждом сегменте: Рассмотрим, сколько топлива нужно для проезда от одной заправки до другой. Нам нужно учитывать не только топливо, которое мы получаем на заправках, но и то, сколько требуется для перемещения. Для каждой заправки i мы можем посчитать «чистый» прирост топлива как f_i - d_i.

4. Общая сумма топлива: Если суммарное топливо (все заправки) равно сумме расходов на перемещение (расстояния между ними), мы можем утверждать, что в какой-то момент, начиная с определенной заправки, мы сможем проехать весь круг. 

5. Граничные условия: Если на данный момент автомобиля не хватает газа, чтобы доехать до следующей заправки, значит, автомобиль не сможет с этой заправки начать движение. Но если мы будем двигаться по трассе и будем отслеживать, когда уровень топлива становится отрицательным, это позволит нам выявить, что определенная заправка неэффективна для старта.

6. Поиск подходящей заправки: Пройдя по всем заправкам и вычисляя сумму «чистого» топлива в каждом сегменте, как только мы достигнем точки, где топливо не хватает, мы считаем, что с этой заправки стартовать нельзя. Однако, если всего топлива достаточно, значит, в какой-то заправке все-таки должно быть возможным осуществить полный круг. 

Формально

- Сравним суммарное топливо с потребностью:  
  Если T — общее топливо, и D — общее расстояние, тогда равенство T = D выполняется. 

- Неотрицательность запасов: Если в какой-то точке на трассе суммарное «чистое» топливо s_k = F_k - D_k становится отрицательным, то это означает, что стартовать от A_start до A_k невозможно. 

Вывод

Наконец, по всем этим аргументам мы можем сделать вывод, что, независимо от конфигурации заправок и количества топлива на каждой, всегда найдется одна заправка, с которой можно начать движение и проехать всю трассу. Это решение парадоксально и наглядно иллюстрирует, как важно смотреть на проблему с высоты системного подхода.