Задача. Во сколько раз объём цилиндрического сосуда больше объёма куба?

Для решения задачи о том, во сколько раз объём цилиндрического сосуда больше объёма куба, давайте рассмотрим несколько ключевых моментов, которые помогут нам более чётко понять взаимосвязь между ними.

Шаг 1: Определение объёмов

Сначала определим объём куба. Объём куба (V_cube) вычисляется по формуле:

V_cube = a^3

где "a" — длина ребра куба.

Теперь рассмотрим цилиндрический сосуд. Объём цилиндра (V_cylinder) вычисляется по формуле:

V_cylinder = π  r^2  h

где "r" — радиус основания цилиндра, "h" — высота цилиндра.

Шаг 2: Взаимосвязь между цилиндром и кубом

По условию задачи, основание куба плотно вписывается в основание цилиндрического сосуда. Это значит, что радиус основания цилиндра равен половине длины ребра куба:

r = a / 2.

Высота воды в цилиндрическом сосуде равна высоте куба, что совпадает с длиной его ребра:

h = a.

Шаг 3: Подставим значения

Теперь подставим выражения для r и h в формулу объёма цилиндра:

V_cylinder = π  (a / 2)^2  a
V_cylinder = π  (a^2 / 4)  a
V_cylinder = (π / 4)  a^3.

Шаг 4: Сравнение объёмов

Теперь давайте найдем отношение объёма цилиндра к объёму куба (ratio):

ratio = V_cylinder / V_cube
ratio = ((π / 4)  a^3) / (a^3).

Упрощая это выражение, мы получаем:

ratio = π / 4.

Шаг 5: Результат

Таким образом, объём цилиндрического сосуда в π / 4 раз больше объёма куба. Если округлить это значение, оно приблизительно равно 0.785, что значит, что объём цилиндра больше объёма куба на 78.5%.

Дополнения

1. Практическое применение: Понимание этих простых геометрических соотношений чрезвычайно важно в различных инженерных и научных задачах, где требуется работать с жидкостями и контейнерами.

2. Геометрическая интуиция: Размышляя о задачах, где разные фигуры связаны между собой, вы сможете лучше представлять, как одна форма может вписываться в другую и как это влияет на их объёмы.

3. Проблема с пропорциями: Если вы увеличите размер куба или цилиндра, вы сможете заметить, что отношение их объёмов останется прежним, так как это соотношение зависит только от формул, а не от конкретных значений.

В результате, мы пришли к важному выводу: объём цилиндрического сосуда больше объёма куба на π / 4.