ОГЭ. Какое соотношение оставшегося воздуха к первоначальному в додекаэдре?

Чтобы найти соотношение оставшегося воздуха к первоначальному в додекаэдре после погружения шара, нам нужно провести некоторые расчеты. Мы рассмотрим этот процесс шаг за шагом.

Шаг 1. Определение объемов

**1.1 Объем правильного додекаэдра**

Объем V_додекаэдра правильного додекаэдра можно вычислить по формуле:

V_додекаэдра = (15 + 7 * sqrt(5)) / 4 * a^3,

где a — длина ребра додекаэдра.

**1.2 Объем шара**

Объем V_шара шара, который вписывается в додекаэдр, можно вычислить по формуле:

V_шара = (4/3) * π * r^3,

где r — радиус шара.

Так как шар вписан в додекаэдр, радиус шара равен r = a * (sqrt(3 + φ) / 2), где φ (фи) — золотое сечение, примерно равное 1.618.

Шаг 2. Расчет объемов

**2.1 Объем додекаэдра**

С первым шагом мы установили, что объем додекаэдра:

V_додекаэдра = (15 + 7 * sqrt(5)) / 4 * a^3.

**2.2 Объем шара**

Теперь найдем объем шара, подставив радиус:

r = a * (sqrt(3 + φ) / 2).

Подставим это значение в формулу объема шара:

V_шара = (4/3) * π * (a * (sqrt(3 + φ) / 2))^3.

Шаг 3. Соотношение объемов

По правилам геометрии, после иногда сложных расчетов мы можем легко выразить оставшийся объем воздуха V_воздуха после погружения шара:

V_воздуха = V_додекаэдра - V_шара.

Шаг 4. Соотношение оставшегося воздуха к первоначальному

Теперь мы можем найти соотношение оставшегося воздуха к первоначальному:

S = V_воздуха / V_додекаэдра.

Подставляем значения:

S = (V_додекаэдра - V_шара) / V_додекаэдра.

Шаг 5. Итоговая формула

Итак, с учетом всех вышеизложенных формул выводим итоговую формул:

S = 1 - (V_шара / V_додекаэдра).

Заключение

Теперь у вас есть четкая структура и формулы для расчета соотношения оставшегося воздуха к первоначальному объему в додекаэдре после погружения шара. Эти шаги выделяют основные процессы, показывая, как анализировать объемы сложных геометрических фигур с точки зрения геометрии и физики.

Не забывайте, что точные вычисления зависят от выбора длины ребра a и могут быть проведены с использованием calculators или программных средств для вычислений. 

Если потребуется, можно дополнительно проанализировать свойства этих фигур или даже провести моделирование на графических программах для подтверждения расчетов.