Сложная геометрическая задача про художника и полотна. Как решить?

Чтобы решить задачу о том, при каких размерах прямоугольника площадь равна периметру, давайте рассмотрим условия подробнее. Для прямоугольника с длиной a и шириной b, площадь (S) и периметр (P) можно выразить следующими формулами:

1. Площадь: S = a  b
2. Периметр: P = 2  (a + b)

Согласно условию задачи, нужно, чтобы площадь была равна периметру:

S = P

Подставим соответствующие формулы:

a  b = 2  (a + b)

Теперь разложим уравнение:

a  b = 2a + 2b

Приведем все термины в одну сторону:

a  b - 2a - 2b = 0

Для удобства, преобразуем уравнение:

ab - 2a - 2b = 0

Теперь добавим 4 к обеим сторонам, чтобы облегчить факторизацию:

ab - 2a - 2b + 4 = 4

Теперь у нас можно выделить полный квадрат:

(a - 2)(b - 2) = 4

Вот это уравнение подсказывает нам, как найти целые значения a и b. Поскольку (a - 2)(b - 2) равно 4, давайте рассмотрим возможные пары целых чисел, произведение которых равно 4. Эти пары могут быть:

- (1, 4)
- (2, 2)
- (4, 1)
- (-1, -4)
- (-2, -2)
- (-4, -1)

Теперь умножим каждую пару на 1 и затем добавим 2 к каждому элементу Paar'ы, чтобы получить значения a и b:

1. Для (1, 4):
   - a - 2 = 1 → a = 3
   - b - 2 = 4 → b = 6
   - (3, 6)

2. Для (2, 2):
   - a - 2 = 2 → a = 4
   - b - 2 = 2 → b = 4
   - (4, 4)

3. Для (4, 1):
   - a - 2 = 4 → a = 6
   - b - 2 = 1 → b = 3
   - (6, 3)

Теперь у нас есть кандидаты: 
- Прямоугольник 1: 3 × 6 
- Прямоугольник 2: 4 × 4

Обратите внимание, что пары (3, 6) и (6, 3) представляют один и тот же прямоугольник. Таким образом, мы на самом деле имеем всего два уникальных прямоугольника: 3 × 6 и 4 × 4.

### Резюме:
1. Мы вывели уравнение (a - 2)(b - 2) = 4.
2. Перечислили возможные целые числа (пары).
3. Получили два уникальных прямоугольника:
   - 3 × 6 (или 6 × 3)
   - 4 × 4

Таким образом, по всем условиям задачи, возможно всего лишь два прямоугольника, размеры которых удовлетворяют условию о равенстве площади и периметра.