Кто что знает про производные второго порядка функции двух переменных?

Производные второго порядка функции двух переменных, обозначаемые как d²z/(dxdy) и d²z/(dydx), действительно могут быть не равны друг другу при определенных условиях. Это связано с тем, что для того чтобы эти производные были равны, функция должна быть дважды непрерывно дифференцируема на рассматриваемой области.

Основные пункты:

1. Определение производных второго порядка:
   - Производная d²z/(dxdy) — это сначала частичная производная функции z по y, а затем частичная производная полученного результата по x.
   - Производная d²z/(dydx) — это сначала частичная производная функции z по x, а затем частичная производная полученного результата по y.

2. Формулы:
   - Если z = f(x, y), то:
     - d²z/(dxdy) = ∂/∂x (∂z/∂y)
     - d²z/(dydx) = ∂/∂y (∂z/∂x)

3. Условие равенства:
   - Если функция f(x,y) дважды непрерывно дифференцируема в некоторой области, то d²z/(dxdy) = d²z/(dydx) (Произведение Клаузиуса).

4. Пример функции, где производные не равны:
   - Рассмотрим функцию: 
     z = x  y² / (x² + y²) для (x, y) ≠ (0, 0) и z = 0 для (x, y) = (0, 0).
   - Для этой функции можно показать, что хотя бы одна из вторых производных не существует в точке (0,0) или они имеют разные значения. 

5. Проверка производных на примере:
   - Вычислим ∂z/∂x и ∂z/∂y:
     - ∂z/∂x = (y²  (x² + y²) - x  y²  2x) / (x² + y²)²
     - ∂z/∂y = (2y  (x² + y²) - y²  2y) / (x² + y²)²
   - Далее, вычислим вторые производные. После вычислений можно обнаружить, что d²z/(dxdy) и d²z/(dydx) не равны.

6. Вывод:
   - Если ваша функция не удовлетворяет условиям непрерывной дифференцируемости, то производные второго порядка могут различаться. Поэтому ваш преподаватель прав — d²z/(dxdy) и d²z/(dydx) не всегда равны.

Заключение:
Производные второго порядка функции двух переменных могут быть не равны, если не соблюдаются условия непрерывности и дважды дифференцируемости функции. Приведенный выше пример демонстрирует это, к тому же подчеркивает важность понимания условий, при которых равенство производных верно.