Какие картинки со сходящимися не собственными интегралами, почему?

Не собственные интегралы — это интегралы, которые берутся на бесконечном интервале или имеют интегрируемую функцию сособенно в точках разрыва. Существуют два типа не собственных интегралов: по бесконечным интервалам и по областям с разрывами, и они могут быть как сходящимися, так и расходимыми. Давайте подробнее рассмотрим, какие функции приводят к сходящимся не собственным интегралам и почему.

Примеры сходящихся не собственных интегралов

1. Интегралы по бесконечным интервалам:
   - Рассмотрим интеграл от функции f(x) на интервале от 1 до бесконечности:
     ∫ (1/x^p) dx от 1 до бесконечности, где p > 1.
     - Этот интеграл сходится, так как при большом x функция убывает достаточно быстро.
     
2. Интегралы с разрывами:
   - Примером может служить интеграл от функции f(x) = 1/(x - 1) на интервале от 0 до 2. 
     - Хотя функция имеет разрыв при x = 1, можно разбить интеграл на два:
     ∫ (1/(x - 1)) dx от 0 до 1 + ∫ (1/(x - 1)) dx от 1 до 2.
     - Оба этих интеграла можно проанализировать по отдельности. Интеграл от 0 до 1 diverges, но если его посмотреть в пределе, используя подход к разрыву, можно показать, что интеграл в точности при x = 1 имеет конечное значение.

3. Частные случаи:
   - Если функция f(x) = e^(-x) на интервале от 0 до бесконечности, интеграл:
     ∫ e^(-x) dx от 0 до бесконечности.
     - Этот интеграл также сходится и имеет конечное значение, равное 1, поскольку функция убывает экспоненциально.

Определение интеграла и его сходимость

Для определения сходимости не собственных интегралов обычно применяются предельные операции. Например, в случае интеграла по бесконечному интервалу мы вводим пределы интегрирования:
  
- Для интеграла на бесконечности:
  ∫ f(x) dx от a до b = lim (t → бесконечность) ∫ f(x) dx от a до t.
  
- При этом проверяется сходимость предела. Если предел имеет конечное значение, то интеграл сходится.

Как визуализировать сходимость

Если мы рассматриваем графики функций, которые имеют сходящиеся не собственные интегралы, можно обратить внимание на следующие аспекты:

- Форма графика: Если функция имеет быстро убывающее поведение, например, как в случае e^(-x), это может указывать на сходимость.
- Разрывы на графиках: Если функция имеет точки разрыва, но поведение интеграла по её участкам можно проанализировать по частям, это тоже указывает на потенциальную сходимость.

Заключение

Сходящиеся не собственные интегралы — это интересное явление, которое позволяет нам разбираться в математических особенностях функции. Существует множество примеров, которые показывают, как можно исследовать интегралы с различными свойствами. Использование предельных процессов и разбиений интегралов является важным инструментом для анализа таких случаев.