Физическая задача на движение точки в плоскости. Какие полные решения?

Задача 1. Движение точки с координатами x = A  cos(Kt), y = B  sin(Kt)

1.1 Определение траектории:

Точка с заданными координатами:

- x = A  cos(Kt)
- y = B  sin(Kt)

может быть описана как эллипс. Давайте найдем уравнение эллипса.

Выразим cos(Kt) и sin(Kt):

- cos(Kt) = x / A
- sin(Kt) = y / B

Используя тригонометрическую идентичность (cos^2 + sin^2 = 1), мы записываем:

(x / A)^2 + (y / B)^2 = 1

Таким образом, уравнение траектории точки:

Уравнение эллипса:

(x^2 / A^2) + (y^2 / B^2) = 1

1.2 Определение радиусов:

Радиусы эллипса:

- Радиус по оси x (semi-major axis) равен A.
- Радиус по оси y (semi-minor axis) равен B.

Точка будет пересекать ось x в (A, 0) и (-A, 0), а также ось y в (0, B) и (0, -B).

1.3 Ускорение точки:

Чтобы найти ускорение точки, нам необходимо найти вторые производные координат по времени t.

Сначала находим первые производные:

- dx/dt = -A  K  sin(Kt)
- dy/dt = B  K  cos(Kt)

Теперь вычислим вторые производные:

- d^2x/dt^2 = -A  K^2  cos(Kt)
- d^2y/dt^2 = -B  K^2  sin(Kt)

Теперь можем выразить вектор ускорения:

Ускорение:
a = (d^2x/dt^2, d^2y/dt^2) = (-A  K^2  cos(Kt), -B  K^2  sin(Kt))

Задача 2. Движение точки с координатами x = A  cos(wt), y = B  sin(wt)

2.1 Определение траектории:

Итак, координаты точки:

- x = A  cos(wt)
- y = B  sin(wt)

Выражая cos(wt) и sin(wt):

- cos(wt) = x / A
- sin(wt) = y / B

Снова используем тригонометрическую идентичность:

(x / A)^2 + (y / B)^2 = 1

Получаем уравнение эллипса:

Уравнение эллипса:

(x^2 / A^2) + (y^2 / B^2) = 1

2.2 Радиусы:

Как и в первом случае, радиусы:

- Радиус по оси x (A) и радиус по оси y (B).

Пересечения с осями:

- Ось x: (A, 0), (-A, 0)
- Ось y: (0, B), (0, -B)

2.3 Ускорение точки:

Находим производные:

- dx/dt = -A  w  sin(wt)
- dy/dt = B  w  cos(wt)

Вторые производные:

- d^2x/dt^2 = -A  w^2  cos(wt)
- d^2y/dt^2 = -B  w^2  sin(wt)

Вектор ускорения:

Ускорение:
a = (d^2x/dt^2, d^2y/dt^2) = (-A  w^2  cos(wt), -B  w^2  sin(wt))

Таким образом, в обеих задачах мы обнаруживаем, что движущаяся точка описывает эллипс в плоскости и определяем уравнения и радиусы этого эллипса. Ускорение точки также определяется и зависит от ее положения в момент времени.