Как составить уравнения касательной и нормали к кривой с параметром?

Чтобы составить уравнения касательной и нормали к кривой с параметром, представленной уравнением 

y^2 = x^3 / (2a - x)

в точке с заданным значением x0 = a, следуйте данным шагам:

### 1. Найдите координаты точки касания

Сначала нам нужно найти значение y при x = a. Подставим x0 = a в уравнение:

y^2 = a^3 / (2a - a) = a^3 / a = a^2.

Таким образом, y может быть равным ±a. Поэтому точки касания будут (a, a) и (a, -a).

### 2. Найдите производную dy/dx

Чтобы найти уравнение касательной, нужно вычислить производную функции y в точке x0. В данном случае, удобнее использовать метод неявного дифференцирования. Рассмотрим уравнение:

y^2(2a - x) = x^3.

Дифференцируем обе стороны по x:

2y(dy/dx)(2a - x) - y^2 = 3x^2.

Теперь перенесем y^2 на правую сторону и выразим dy/dx:

2y(dy/dx)(2a - x) = 3x^2 + y^2.

dy/dx = (3x^2 + y^2) / (2y(2a - x)).

### 3. Подставьте x0 и соответствующее значение y

Теперь подставим x0 = a и значения y. По такому правилу:

Если y = a:

dy/dx = (3a^2 + a^2) / (2a(2a - a)) = 4a^2 / (2a^2) = 2.

Если y = -a:

dy/dx = (3a^2 + a^2) / (2(-a)(2a - a)) = 4a^2 / (-2a^2) = -2.

Таким образом, производные в точках (a, a) и (a, -a) равны 2 и -2 соответственно.

### 4. Составьте уравнение касательной

Используя формулу уравнения касательной:

y - y0 = m(x - x0),

где m - наклон (производная), (x0, y0) - координаты точки касания.

Для (a, a) с m = 2:

y - a = 2(x - a)  →  y = 2x - a.

Для (a, -a) с m = -2:

y + a = -2(x - a)  →  y = -2x + a.

### 5. Составьте уравнение нормали

Уравнение нормали — это прямая, перпендикулярная касательной. Наклон нормали равен -1/m. Таким образом:

Для точки (a, a):

m = 2, значит, наклон нормали = -1/2.

Уравнение: y - a = -0.5(x - a)  →  y = -0.5x + (3/2)a.

Для точки (a, -a):

m = -2, значит, наклон нормали = 1/2.

Уравнение: y + a = 0.5(x - a)  →  y = 0.5x - (3/2)a.

### 6. Подведение итогов

Теперь у нас есть уравнения касательной и нормали для обоих случаев:

- Для точки (a, a):

  Касательная: y = 2x - a.
  
  Нормаль: y = -0.5x + (3/2)a.

- Для точки (a, -a):

  Касательная: y = -2x + a.
  
  Нормаль: y = 0.5x - (3/2)a.

Это полный процесс нахождения уравнений касательных и нормалей к заданной кривой в точках, соответствующих x0 = a.