Как вычислить площадь фигуры?

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = sin(x), y = cos(x), y = 0 и x = π/2, мы будем следовать нескольким шагам. Разберем процесс более детально.

Шаг 1: Определение пересечения функций

Первый шаг — выяснить, где функции y = sin(x) и y = cos(x) пересекаются в пределах нашего интервала. 

Решим уравнение:
sin(x) = cos(x)

Это уравнение может быть преобразовано с помощью тригонометрических функций:
tan(x) = 1

Решение этого уравнения дает:
x = π/4

Теперь мы знаем, что обе функции пересекаются в точке x = π/4.

Шаг 2: Определение области интегрирования

Теперь нам нужно понять, какая из функций выше на интервале от 0 до π/2. Мы можем подставить значение x = 0 и x = π/4.

- При x = 0: 
  sin(0) = 0 и cos(0) = 1, значит cos(x) > sin(x).

- При x = π/4:
  sin(π/4) = cos(π/4) = √2/2. Они равны.

- При x = π/2:
  sin(π/2) = 1 и cos(π/2) = 0, значит sin(x) > cos(x).

Итак, мы можем заключить, что:

- На интервале [0, π/4] функция cos(x) выше sin(x).
- На интервале [π/4, π/2] функция sin(x) выше cos(x).

Шаг 3: Определение площади

Площадь фигуры будет состоять из двух частей, разделенных в точке пересечения (x = π/4). Мы можем использовать интегралы для нахождения площади. 

Площадь A будет равна:

A = ∫(0 to π/4) (cos(x) - 0) dx + ∫(π/4 to π/2) (sin(x) - 0) dx.

Теперь упростим:

A = ∫(0 to π/4) cos(x) dx + ∫(π/4 to π/2) sin(x) dx.

Шаг 4: Вычисление интегралов

Теперь вычислим каждый интеграл отдельно.

Для первого интеграла:

∫(0 to π/4) cos(x) dx = [sin(x)] from 0 to π/4 = sin(π/4) - sin(0) = √2/2 - 0 = √2/2.

Для второго интеграла:

∫(π/4 to π/2) sin(x) dx = [-cos(x)] from π/4 to π/2 = -cos(π/2) + cos(π/4) = 0 + √2/2 = √2/2.

Шаг 5: Сложение площадей

Теперь просто складываем результаты:

A = (√2/2) + (√2/2) = √2.

Таким образом, квадратура фигуры, ограниченной заданными линиями, равна √2 единиц площади.

Заключение

В итоге мы получили, что площадь фигуры, ограниченной функциями y = sin(x), y = cos(x), осью ординат и вертикальной линией x = π/2, равна √2. Этот процесс показывает, как через простые шаги мы можем получить решение, используя принципы интегрирования и геометрический анализ функций.