Как найти общее решение дифференциального уравнения(см)?

Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения вида (x² + y²)dy = 2xdx, следуем пошаговому подходу. Давайте разберемся, как поэтапно решить это уравнение.

Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду

Начнем с преобразования данного уравнения. Перепишем его так, чтобы выделить производную y':

(x² + y²) dy = 2x dx

Теперь можем выразить dy/dx:

dy/dx = (2x) / (x² + y²)

Шаг 2: Удаление переменных

Это уравнение можно решить методом разделения переменных, однако, оно не является простым в этом виде. Вместо этого, заметим, что его можно переписать как:

dy = (2x / (x² + y²)) dx

Теперь мы сделаем следующее: 

dy / (2x) = dx / (x² + y²)

Следовательно, мы можем записать это как:

(1/2) (dy/y) = (dx)/(x² + y²)

Шаг 3: Интегрирование обеих сторон

Теперь, чтобы найти общее решение, мы должны интегрировать обе стороны уравнения.

∫ (1/y) dy = ∫ (2x / (x² + y²)) dx

Интегрируя левую часть, мы получаем:

ln|y| = ∫ (2x / (x² + y²)) dx

Шаг 4: Решение интеграла правой стороны

Интеграл правой части можно решить, используя подстановку. Обозначим u = x² + y², тогда du = 2x dx и dx = du/(2x). Замена дает:

∫ (2x / (u)) (du/(2x)) = ∫ (1/u) du = ln|u| + C = ln|x² + y²| + C

Таким образом, мы имеем:

ln|y| = ln|x² + y²| + C

Шаг 5: Преобразование и нахождение общего решения

Теперь, чтобы избавиться от логарифмов, возьмем экспоненту от обеих сторон:

|y| = e^(C)  |x² + y²|

Обозначим e^(C) как K (константу интегрирования). Тогда получаем:

y = K  (x² + y²)

Шаг 6: Упрощение уравнения

Можно также выразить y:

y(1 - K) = K  x²

Следовательно,

y = (K  x²) / (1 - K)

Эта формула описывает общее решение уравнения, где K является произвольной постоянной.

Шаг 7: Заключение

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения (x² + y²)dy = 2xdx можно выразить в функции зависимой от произвольной постоянной K. 

Эти шаги демонстрируют, как подходить к подобным дифференциальным уравнениям. Практика поможет лучше понять, как выполнять интегрирование и работу с переменными, а также использовать подстановки для упрощения решений.