Что такое логарифм и как его решать?

Логарифм – это обратная операция к возведению в степень. Если у вас есть уравнение вида a^x = b, где a > 0 и a ≠ 1, то логарифм b по основанию a (обозначается как loga(b)) равен x. Это значит, что логарифм показывает, в какую степень нужно возвести основание a, чтобы получить число b.

***Основные свойства логарифмов:***

1. **Логарифм произведения:** loga(m * n) = loga(m) + loga(n)
2. **Логарифм частного:** loga(m / n) = loga(m) - loga(n)
3. **Логарифм степени:** loga(m^k) = k * loga(m)
4. **Логарифм единицы:** loga(1) = 0 (так как a^0 = 1)
5. **Логарифм основания:** loga(a) = 1 (так как a^1 = a)

Теперь рассмотрим, как решать задачи с логарифмами, используя приведенные вами примеры.

Пример 1: Найдите корень уравнения log2(4-x) = 7.

1. Применяем определение логарифма: это значит, что 2^7 = 4 - x.
2. Вычисляем 2^7: 2^7 = 128.
3. Получаем уравнение: 128 = 4 - x.
4. Решаем его: x = 4 - 128 = -124.
5. Проверяем: log2(4 - (-124)) = log2(128) = 7. Это верно.

Ответ: x = -124.

Пример 2: Найдите корень уравнения log5(5-x) = log5(3).

1. Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, приравниваем аргументы: 5 - x = 3.
2. Решаем уравнение: -x = 3 - 5 = -2, тогда x = 2.
3. Проверяем: log5(5 - 2) = log5(3), что верно.

Ответ: x = 2.

Пример 3: Найдите корень уравнения log4(x+3) = log4(4x-15).

1. Сравниваем аргументы логарифмов: x + 3 = 4x - 15.
2. Переносим все в одну сторону: 15 + 3 = 4x - x, то есть 18 = 3x.
3. Решаем: x = 18 / 3 = 6.
4. Проверяем: log4(6 + 3) = log4(4 * 6 - 15) => log4(9) = log4(9), что подтверждает правильность.

Ответ: x = 6.

Дополнительные заметки:

- **Проверка условий задачи.** Всегда проверяйте, чтобы аргументы логарифмов были положительными, так как loga(x) определен только при x > 0.
- **Обращение к свойствам.** Обязательно используйте свойства логарифмов для упрощения уравнений.
- **Работа с неравенствами.** Если в задаче есть неравенства, будьте осторожны, так как это может изменить область значений x.

Логарифмы – важный инструмент в математике, который используется для упрощения операций с большими числами и в решении задач, где необходимо работать с экспоненциальными ростами и падениями. Понимание их свойств и умений решать логарифмические уравнения существенно упростит вашу работу как в школе, так и в будущем!