Как решить: Три числа таковы, что куб суммы любых двух из них равен...?

Для решения данной задачи, давайте рассмотрим три числа, обозначив их как a, b и c. По условию, куб суммы любых двух из них равен сумме их кубов. То есть, у нас выполняются следующие равенства:

1. (a + b)³ = a³ + b³
2. (b + c)³ = b³ + c³
3. (c + a)³ = c³ + a³

Наша задача — доказать, что среди этих чисел есть хотя бы одно нулевое значение.

Шаг 1: Разложим равенства

Начнем с первого равенства:

(a + b)³ = a³ + b³.

По формуле куба суммы, получаем:

a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = a³ + b³.

Сократив a³ и b³, получаем:

3a²b + 3ab² = 0.

Факторизуем:

3ab(a + b) = 0.

Это равенство будет выполнено, если либо:

- a = 0,
- b = 0,
- a + b = 0.

Шаг 2: Анализ условий

Аналогично, разложим и проверим остальные два равенства:

- Для второго:

(b + c)³ = b³ + c³,

аналогично мы получаем:

3bc(b + c) = 0.

Следовательно, это равенство также может быть выполнено при:

- b = 0,
- c = 0,
- b + c = 0.

- Для третьего:

(c + a)³ = c³ + a³,

получаем:

3ca(c + a) = 0.

Это равенство выполнится, если:

- c = 0,
- a = 0,
- c + a = 0.

Шаг 3: Объединение результатов

Теперь у нас есть три случая, прописанных для каждого равенства:

1. a = 0, b = 0, a + b = 0.
2. b = 0, c = 0, b + c = 0.
3. c = 0, a = 0, c + a = 0.

Каждый из них указывает на то, что хотя бы одно из чисел a, b или c должно равняться нулю, так как в каждом равенстве хотя бы в одном из факторов 3a²b, 3bc или 3ca присутствует произведение, равное нулю.

Шаг 4: Вывод

Из всех вышеописанных условий мы можем сделать вывод, что среди трёх чисел a, b и c как минимум одно из этих чисел должно быть равно нулю.

Таким образом, мы доказали, что среди чисел a, b и c присутствует хотя бы одно нулевое значение.

Заключение

Это простое, но важное свойство кубов и суммы чисел показывает, как алгебраические операции могут привести нас к интересным и порой неожиданным результатам. Изучение таких свойств помогает глубже понять математику, а также развить навыки логического мышления и доказательства!