Сколько трехзначных чисел, сумма цифр которых равна 7, а произведение - 9?

Хорошо, давайте разберемся, сколько трехзначных чисел существует, сумма цифр которых равна 7, а произведение этих цифр — 9. 

Мы будем искать такие числа, у которых:

- Сумма цифр: a + b + c = 7 (где a — первая цифра, b — вторая, c — третья)
- Произведение цифр: a  b  c = 9

### Шаг 1: Установим ограничения

Поскольку мы ищем трехзначные числа, первая цифра (a) должна быть от 1 до 9, а вторая (b) и третья (c) — от 0 до 9. 

### Шаг 2: Подбор комбинаций

Теперь нам нужно найти все возможные сочетания a, b и c, которые удовлетворяют условиям:

1. Сумма: a + b + c = 7
2. Произведение: a  b  c = 9

Для нахождения таких чисел, давайте рассмотрим все возможные комбинации, начиная с цифры a:

- Если a = 1:
  - b + c = 6
  - b  c = 9 (не возможно, так как b и c не могут быть больше 6)

- Если a = 2:
  - b + c = 5
  - b  c = 4 (возможные пары: (2, 3), (3, 2))

- Если a = 3:
  - b + c = 4
  - b  c = 3 (возможные пары: (1, 3), (3, 1))

- Если a = 4:
  - b + c = 3
  - b  c = 2 (возможные пары: (1, 2), (2, 1))

- Если a = 5:
  - b + c = 2
  - b  c = 1 (возможная пара: (1, 1))

- Если a = 6:
  - b + c = 1
  - b  c = 0 (можно только 0 и 1, но 0 не подходит для a)

- Если a = 7, 8, или 9:
  - b + c никак не может оставаться положительным.

### Шаг 3: Список подходящих комбинаций

Таким образом, подходящие пары (a, b, c):

- (2, 2, 3)
- (2, 3, 2)
- (3, 1, 3)
- (3, 3, 1)
- (4, 1, 2)
- (4, 2, 1)
- (5, 1, 1)

Теперь соберем наши числа:

- 223, 232, 322, 331, 313, 412, 421, 511, 151, 115

### Шаг 4: Подсчёт уникальных комбинаций

После составления всех возможных сочетаний и их упорядочивания, мы получаем следующие уникальные числа:

- 115
- 151
- 211
- 221
- 232
- 311
- 321
- 412
- 421
- 511

### Заключение

Таким образом, итоговое количество трехзначных чисел, сумма цифр которых равна 7 и произведение равно 9, составляет 10. 

Это отличный пример комбинаторики, где работа с условиями позволяет точно определить искомые числа. Мы проанализировали, какие цифры могут подойти под заданные условия, и уверенно представили результат.