Как решить задачу: через сколько минут Коля перейдет на следующий уровень?

Чтобы определить, через сколько минут Коля перейдет на следующий уровень в своей компьютерной игре, давайте рассмотрим процесс начисления очков более подробно. Коля начинает с 0 очков, а цель — набрать как минимум 50000 очков. Каждый раз, когда проходит очередная минута, количество очков, которые он получает, удваивается.

### Шаг 1: Понимание начисления очков

- **Первая минута**: Коля получает 2 очка.
- **Вторая минута**: Коля получает 4 очка.
- **Третья минута**: Коля получает 8 очков.
- **Четвертая минута**: Коля получает 16 очков.
- И так далее...

Таким образом, количество очков, которое Коля получает в i-й минуте, можно выразить формулой:

- Очки в i-й минуте = 2^i

Итак, общее количество очков после n минут можно выразить как сумму очков за каждую минуту до n:

\[ S_n = 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^n \]

### Шаг 2: Выражение суммы

Сумма этой последовательности — это геометрическая прогрессия. Формула для суммы первой n членов геометрической прогрессии выглядит так:

\[ S_n = a \frac{(q^n - 1)}{(q - 1)} \]

где:
- a = первый член ряда
- q = отношение между членами (в нашем случае q = 2)
- n = количество членов

В нашем случае a = 2, и так мы получаем:

\[ S_n = 2 \frac{(2^n - 1)}{(2 - 1)} = 2(2^n - 1) = 2^{n+1} - 2 \]

Так что общее количество очков, которое Коля наберет за n минут, будет:

\[ S_n = 2^{n+1} - 2 \]

### Шаг 3: Условие задания

Коля должен набрать не менее 50000 очков:

\[ 2^{n+1} - 2 \geq 50000 \]

### Шаг 4: Решение неравенства

Теперь преобразуем неравенство:

\[ 2^{n+1} \geq 50000 + 2 \]
\[ 2^{n+1} \geq 50002 \]

### Шаг 5: Логарифмирование

Чтобы решить это неравенство, можно взять логарифм от обеих сторон:

\[ n + 1 \geq \log_2(50002) \]
\[ n \geq \log_2(50002) - 1 \]

### Шаг 6: Подсчет значений

Теперь нам нужно найти значение \( \log_2(50002) \). Это можно оценить, используя приближенные значения:

\[ \log_2(50002) \approx 15.6 \]

Подставляя это значение:

\[ n \geq 15.6 - 1 \]
\[ n \geq 14.6 \]

Округляем до ближайшего большего целого, и получаем:

\[ n = 15 \]

### Итог

Таким образом, Коля перейдет на следующий уровень через **15 минут** игры. Важно отметить, что его прогресс будет увеличиваться экспоненциально, так что с каждой минутой он будет набирать все больше и больше очков, так что с каждым уровнем он будет становиться сильнее! Теперь ему остается только продолжать играть.