Как решить задачу о катящейся окружности по другой окружности?

Чтобы решить задачу о катящейся окружности A по окружности B, давайте разберем её шаг за шагом.

### Дано

- Радиус окружности A: R_A = 1/3 R_B 
- Радиус окружности B: R_B (неизвестен, но влияет на расчет)

### Задача

Нам нужно определить, за сколько оборотов окружности A её центр вернется в исходную точку, когда она катится по окружности B.

### Шаги решения

1. Определим длины окружностей.

   Для окружности A длина окружности (L_A) рассчитывается по формуле:

   L_A = 2  π  R_A = 2  π  (1/3 R_B) = (2π/3) R_B

   Для окружности B длина окружности (L_B):

   L_B = 2  π  R_B

2. Рассмотрим катение окружности A по окружности B.

   Когда окружность A катится по окружности B, она не только прокручивается вокруг своей оси, но и двигается по окружности B. Это подразумевает, что движение в целом состоит из двух компонентов:

   - Вращение A относительно своей оси.
   - Перемещение центра окружности A по окружности B.

3. Вращение окружности A.

   Каждый раз, когда окружность A делает полный оборот относительно своей оси, её центр перемещается на расстояние, равное ее длине окружности, то есть L_A. Поэтому, для N полных оборотов окружности A, центр должен пройти расстояние N  L_A.

4. Совершенные движения.

   После N оборотов окружности A, центр будет находиться на расстоянии N  L_A от начальной точки, в то время как он также должен пройти расстояние равное длине окружности B. Соответственно:

   N  L_A = полное расстояние, пройденное вокруг окружности B.

5. Эквивалентное движение.

   Важно заметить, что когда окружность A прокатывается по окружности B, она совершает дополнительный оборот из-за перемещения по окружности B:

   Каждый раз, когда окружность A проходит длину окружности B (L_B), ее центр возвращается в на одну окружность ближе к своей исходной точке.

6. Уравнение для N.

   Из равенства:

   N  L_A = M  L_B, 

   где M – количество оборотов окружности B, мы можем выразить количество оборотов N, считая, что один оборот окружности B осуществляется, когда M = 1.

7. Подставляем значения.

   Подставим L_A и L_B:

   N  (2π/3 R_B) = M  (2π R_B)

   Упрощаем уравнение, сокращая 2π R_B:

   N  (1/3) = M

   То есть, если окружность A прокатывается по окружности B, за один полный оборот вокруг B (M=1) потребуется 3 оборота окружности A (N=3).

### Ответ

Таким образом, требуемое количество оборотов окружности A, чтобы её центр вернулся в исходную точку, составляет 3.

### Вывод

Ответ на задачу — (B) 3.