Как решить данную задачу по комплексному анализу?

Для решения задачи по комплексному анализу и нахождения значения функции f(z) = 5z² + 2z при z = 2 - 3i, мы выполним несколько шагов. Давайте рассмотрим их по порядку:

Шаг 1: Подстановка значения z

Мы имеем функцию:

f(z) = 5z² + 2z.

Теперь мы подставим значение z = 2 - 3i в эту функцию. Это означает, что мы заменим все z в функции на (2 - 3i):

f(2 - 3i) = 5(2 - 3i)² + 2(2 - 3i).

Шаг 2: Вычисление z²

Сначала вычислим (2 - 3i)². Для этого воспользуемся формулой для квадрат суммы:

(a - b)² = a² - 2ab + b².

Подставим a = 2 и b = 3i:

(2 - 3i)² = 2² - 2  2  3i + (3i)²
           = 4 - 12i + 9i².

Теперь, поскольку i² = -1, мы можем заменить 9i² на -9:

(2 - 3i)² = 4 - 12i - 9
           = -5 - 12i.

Шаг 3: Подстановка результата в f(z)

Теперь подставляем найденное значение (2 - 3i)² в функцию f(z):

f(2 - 3i) = 5(-5 - 12i) + 2(2 - 3i).

Шаг 4: Расчет первого слагаемого

Вычислим 5(-5 - 12i):

5(-5 - 12i) = -25 - 60i.

Шаг 5: Расчет второго слагаемого

Теперь вычислим 2(2 - 3i):

2(2 - 3i) = 4 - 6i.

Шаг 6: Сложение результатов

Теперь складываем оба результата:

f(2 - 3i) = (-25 - 60i) + (4 - 6i)
           = -25 + 4 + (-60i - 6i)
           = -21 - 66i.

Ответ

Теперь мы можем записать окончательный ответ:

f(2 - 3i) = -21 - 66i.

Заключение

Таким образом, мы получили значение функции f(z) = 5z² + 2z при z = 2 - 3i. Процесс включает в себя подстановку, вычисление квадрата комплексного числа, умножение и сложение комплексных чисел. Это пример того, как можно работать с комплексными функциями, что является важным аспектом изучения комплексного анализа.