Как решить уравнение 33.12 из учебника Мерзляка за 10 класс?

Давайте поработаем над уравнениями, которые вы привели, с подробными шагами.

Уравнение 1: sin(πx/4) = x² - 4x + 5

1. **Анализ уравнения**:
   Мы видим, что у нас есть тригонометрическая функция и квадратное уравнение. Обе эти части зависят от переменной x.

2. **Обозначим правую часть**:
   Давайте обозначим правую часть уравнения как f(x):
   f(x) = x² - 4x + 5.

3. **Минимум функции**:
   Найдем минимум квадратного выражения f(x). Квадратная функция имеет форму:
   f(x) = ax² + bx + c.
   Для определения минимального значения используем формулу х = -b/(2a):
   В данном случае a = 1, b = -4, c = 5:
   x_0 = -(-4)/(2*1) = 2.
   Подставим x_0 в f(x):
   f(2) = 2² - 4*2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1.
   То есть f(x) ≥ 1 для всех x.

4. **Ограничение значения sin**:
   Поскольку sin(πx/4) колеблется от -1 до +1, а f(x) ≥ 1, это указывает на то, что обе части могут равняться только при:
   sin(πx/4) = 1.

5. **Решение уравнения sin**:
   Решая sin(πx/4) = 1, мы имеем:
   πx/4 = π/2 + 2kπ, где k — целое число.
   x = 2 + 8k.

6. **Проверка на целочисленность**:
   Теперь нам нужно проверить, что у нас действительно есть такие значения x, которые удовлетворяют изначальному уравнению. Значения k = 0 приводят к x = 2, что дает:
   f(2) = 1 и sin(π*2/4) = 1.  
   Значит x = 2 — единственное решение!

Уравнение 2: 2/(sin(x) + cos(x)) = √(2 - x²)

1. **Анализ уравнения**:
   Это уравнение также содержит тригонометрические функции, но в другом виде. Обозначим левую часть как g(x):
   g(x) = 2/(sin(x) + cos(x)).

2. **Ограничение функции g(x)**:
   Мы должны учесть, что sin(x) + cos(x) не может равняться 0, поскольку это приведет к делению на ноль. 
   Проверим значение sin(x) + cos(x) в различных диапазонах. Максимальное значение sin(x) + cos(x) равно √2, а минимальное значение может приблизиться к -√2. Следовательно, g(x) стремится к нулю при значении sin(x) + cos(x) близком к 0.

3. **Квадрат обеих частей**:
   Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат:
   (2/(sin(x) + cos(x)))² = 2 - x².
   Это дает:
   4/(sin²(x) + 2sin(x)cos(x) + cos²(x)) = 2 - x².
   Используя идентичность sin²(x) + cos²(x) = 1, мы имеем:
   4/(1 + sin(2x)) = 2 - x².

4. **Переменные**:
   Умножим обе части на (1 + sin(2x)):
   4 = (2 - x²)(1 + sin(2x)).
   Раскроем скобки:
   4 = 2 + 2sin(2x) - x² - x²sin(2x).
   Это трансформируется в уравнение:
   (x² + 2)sin(2x) = 2 - 4,
   что приводит к:
   (x² + 2)sin(2x) = -2.

5. **Решаем**:
   Следует искать решения на интервале x, где sin(2x) принимает значения от -1 до 1. Упростим систему для нахождения точных решений.

Заключение: Для решения таких уравнений важно понимать поведение тригонометрических и алгебраических функций, а также применять методы анализа для нахождения корней. Неоднократные проверки нужны для верификации всех найденных решений.