Как построить график функции y=x^2+3x-4?

Чтобы построить график функции y = x² + 3x - 4, а также определить промежутки, на которых функция возрастает и область решений неравенства y ≤ 0, мы пройдём через несколько этапов.

Этап 1: Определение вида функции

Функция y = x² + 3x - 4 является квадратичной. Квадратичная функция имеет вид y = ax² + bx + c, где a, b и c — это коэффициенты. В нашем случае:

- a = 1
- b = 3
- c = -4

Этап 2: Нахождение корней

Чтобы понять, где график пересекает ось x, найдем корни этой функции, решив уравнение:

x² + 3x - 4 = 0.

Для нахождения корней можем воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b² - 4ac.

Подставив значения:

D = 3² - 4  1  (-4) = 9 + 16 = 25.

Корни функции можно найти по формуле:

x₁,₂ = (-b ± √D) / (2a).

Теперь подставим значения:

x₁ = (-3 + √25) / (2  1) = (-3 + 5) / 2 = 1,

x₂ = (-3 - √25) / (2  1) = (-3 - 5) / 2 = -4.

Таким образом, корни функции: x₁ = 1 и x₂ = -4.

Этап 3: Построение графика

1. Начальный этап: Наносим точки, соответствующие найденным корням (x = -4 и x = 1). Эти точки являются пересечениями графика с осью x.
  
2. Вершина параболы: Для нахождения вершины воспользуемся формулой xв = -b / (2a):
   
xв = -3 / (2  1) = -1.5.

Теперь подставим xв в функцию, чтобы найти соответствующее значение y:

yв = (-1.5)² + 3  (-1.5) - 4 = 2.25 - 4.5 - 4 = -6.25.

Таким образом, координаты вершины: (-1.5, -6.25).

3. Определяем общее направление: Так как a = 1, функция открыта вверх.

4. Составление графика: Соедините точки, полученные выше, и обозначьте уровень y = 0 (ось x), а также отметьте высоту вершины.

Этап 4: Определение промежутков

Теперь рассмотрим, на каком промежутке функция возрастает:

- Функция возрастает на промежутке, где производная y' = 2x + 3 > 0. 
- Решим неравенство: 2x + 3 > 0, получим x > -1.5.

Таким образом, функция возрастает на промежутке (-1.5, +∞).

Этап 5: Нахождение области решений неравенства y ≤ 0

Для определения области решений y ≤ 0, мы знаем, что функция пересекает ось x в точках x = -4 и x = 1. 

Это значит, что график функции ниже оси x между корнями. Следовательно, неравенство y ≤ 0 выполняется на промежутке:

[-4, 1].

Итог

- Функция возрастает на промежутке (-1.5, +∞).
- Множество решений неравенства y ≤ 0: [-4, 1]. 

Таким образом, мы имеем сводную информацию по заданной функции, ее графику и соответствующим промежуткам. Если возникнут дополнительные вопросы или потребуется помощь с другими темами, не стесняйтесь задавать!