Как решить задачу про векторы a и b, геометрия 9 класс?

Давайте рассмотрим задачу о векторах a и b более подробно, разбив ответ на несколько последовательных шагов.

Шаг 1: Определение векторов

Даны следующие векторы:
- a = (1, 2)
- b = (-3, 1)

Шаг 2: Находим вектор d = 2a + 3b

Чтобы найти вектор d, нам нужно сначала умножить векторы a и b на соответствующие скаляры и затем сложить результаты.

1. Вычислим 2a:
   2a = 2 * (1, 2) = (2 * 1, 2 * 2) = (2, 4)

2. Вычислим 3b:
   3b = 3 * (-3, 1) = (3 * -3, 3 * 1) = (-9, 3)

3. Сложим результаты:
   d = 2a + 3b = (2, 4) + (-9, 3) = (2 - 9, 4 + 3) = (-7, 7)

Таким образом, координаты вектора d равны (-7, 7).

Шаг 3: Находим модуль вектора d

Модуль вектора d вычисляется по формуле:

|d| = √(x² + y²),

где x и y - это координаты вектора d. Поэтому:

|d| = √((-7)² + 7²) = √(49 + 49) = √98 = 7√2.

Шаг 4: Находим вектор k = a - 2b

Теперь найдем вектор k:

1. Вычислим 2b:
   2b = 2 * (-3, 1) = (-6, 2)

2. Вычислим a - 2b:
   k = (1, 2) - (-6, 2) = (1 + 6, 2 - 2) = (7, 0)

Таким образом, координаты вектора k равны (7, 0).

Шаг 5: Находим модуль вектора k

Теперь вычислим модуль вектора k:

|k| = √(x² + y²) = √(7² + 0²) = √49 = 7.

Шаг 6: Вычисляем угол между векторами d и k

Для нахождения угла между двумя векторами можно воспользоваться формулой, основанной на скалярном произведении:

cos(θ) = (d • k) / (|d| * |k|),

где 
d • k - это скалярное произведение векторов d и k,
|d| и |k| - их модули.

1. Найдем скалярное произведение d и k:
   d • k = (-7) * 7 + 7 * 0 = -49 + 0 = -49.

2. Подставим модuli векторов: 
   |d| = 7√2 и |k| = 7.

Теперь можем вычислить cos(θ):

cos(θ) = -49 / (7√2 * 7) = -49 / (49√2) = -1 / √2.

Шаг 7: Находим угол θ

Чтобы найти угол θ, используем обратную функцию арккосинуса:

θ = arccos(-1/√2).

Угол θ равен 135 градусов (или 3π/4 радиан).

Заключение

Мы нашли координаты и модули векторов d и k, а также вычислили угол между этими векторами:

- Вектор d: (-7, 7)
- Модуль d: 7√2
- Вектор k: (7, 0)
- Модуль k: 7
- Угол между векторами d и k: 135 градусов (или 3π/4 радиан). 

Если есть какие-либо вопросы или нужно больше пояснений относительно решения, не стесняйтесь спрашивать!