Как доказать, что найдется ученик, у которого не менее 12 друзей?

Чтобы доказать, что в классе из 25 учеников обязательно существует хотя бы один ученик, у которого не менее 12 друзей, воспользуемся методом доказательства через противоречие и свойствами графов. 

Шаг 1: Формулировка задачи
Дадим каждому ученику номер от 1 до 25 и рассмотрим их как вершины графа, где каждое ребро между вершинами (учениками) будет означать дружбу между ними. Из условия задачи мы знаем, что среди любых трех учеников двое дружат между собой. Это значит, что в любом подмножестве из трех вершин графа есть хотя бы одно ребро.

Шаг 2: Применение свойства графов
Мы можем сказать, что граф из 25 вершин является квадратом полного графа, то есть любой подграф с тремя вершинами содержит по крайней мере одно ребро. Это также означает, что количество дружеских связей (ребер) будет достаточно велико.

Шаг 3: Использование условия о дружбе
На основании условия задачи видно, что при любом выборе трех учеников, как минимум два из них обязательно должны быть дружны. Это позволяет нам утверждать, что каждый ученик не может иметь слишком малое количество друзей, иначе возникнет противоречие. 

Шаг 4: Предположим обратное
Допустим, что каждый из 25 учеников имеет не более 11 друзей. Тогда максимальная степень любого ученика (количество его друзей) составляет 11. Рассмотрим, сколько уникальных пар дружбы в таком случае может быть создано.

Если каждый из 25 учеников дружит не более чем с 11 другими, мы можем посчитать общее количество дружеских связей (ребер): 
- У каждого ученика есть максимум 11 друзей: при 25 учениках максимальное количество дружеских связей составляет 25 * 11.

Однако, так как каждое ребро соединяет двух учеников, это означает, что мы считали каждую дружескую связь дважды, то есть фактически количество уникальных ребер не превышает (25 * 11) / 2.

Шаг 5: Вывод числа дружеских связей
Следовательно, максимальное количество дружеских связей будет равно:
(25 * 11) / 2 = 137.5. Поскольку количество связей - это целое число, округляем до 137.

Шаг 6: Сравнение с количеством необходимых связей
Теперь, чтобы каждая группа из трех учеников имела хотя бы одну пару друзей, необходимо, чтобы связь между ними существовала. Разберем количество троек. Из 25 учеников мы можем подобрать тройки комбинацией C(25, 3) = 2300 возможных троек. Если допустимо только 137 уникальных связей, то явно этого недостаточно для формирования 2300 троек, удовлетворяющих нашему условию.

Шаг 7: Приход к противоречию
Это приводит нас к противоречию: если мы предполагаем, что у всех не более 11 друзей, количество дружеских связей слишком мало, чтобы покрыть все возможные группы из трех учеников. 

Шаг 8: Заключение
Следовательно, наше предположение неверно. Это означает, что хотя бы один ученик в этом классе должен иметь не менее 12 друзей.

Таким образом, мы доказали, что в классе из 25 учеников обязательно есть хотя бы один учащийся, который имеет не менее 12 дружеских связей.