Как решить: Марафонец Тимофей, пробежав 1/6 пути, сильно устал?

Чтобы решить задачу о встрече Тимофея и Михаила, давайте сначала разберемся с данными. 

1. Дано:
   - Расстояние между пунктами A и B = 49 км.
   - Тимофей пробежал 1/6 пути до своего возвращения, то есть он пробежал (1/6)  49 = 49/6 = 8.17 км.
   - Он вернулся обратно с постоянной скоростью, и когда он вернулся в A, Михаил только добежал до B.

2. Обозначим скорости и время:
   - Пусть скорость Тимофея на этапе быстрого бега = V₁ (км/ч).
   - Пусть скорость Тимофея на этапе медленного шага = V₂ (км/ч).
   - Пусть скорость Михаила = V₃ (км/ч).
   - Чтобы выразить время, давайте обозначим его как T (часы).

3. Расчет времени для Тимофея:
   - Время, которое Тимофей затратил на пробежку 1/6 пути:
     T₁ = (49/6) / V₁.
   - Время, которое Тимофей затратил на возвращение обратно до A (он пробежал оставшиеся 8.17 км):
     T₂ = (49/6) / V₂.

4. Общее время для Тимофея:
   - Общее время, которое он провел, = T₁ + T₂.
   - То есть, T = (49/6) / V₁ + (49/6) / V₂.

5. Расчет времени для Михаила:
   - Михаил пробегает 49 км с постоянной скоростью V₃ за T часов:
     T = 49 / V₃.

6. Условие равенства времени:
   - В момент, когда Тимофей вернулся в A, Михаил добежал до B, значит, времена равны, и у нас есть уравнение:
    
    (49/6) / V₁ + (49/6) / V₂ = 49 / V₃.

7. Сравнение времени и скоростей:
   - Поделим обе стороны уравнения на 49:
   
    (1/6) / V₁ + (1/6) / V₂ = 1 / V₃.
    
   Перепишем уравнение:
   
    1/V₁ + 1/V₂ = 6/V₃.

8. Изучаем расстояние, на котором встречаются спортсмены:
   - Назовем расстояние, которое пробежал Михаил до встречи с Тимофеем, S (км). Михаил и Тимофей встретятся на 49 – S км.

9. Скорость Михаила и задание S:
   - Скорость Михаила и расстояние, которое он пробежал до встречи: S = V₃  T (где T – время, прошедшее с момента старта Михаила до встречи с Тимофеем).
   - Также, пока Михаил бежит, Тимофей медленно возвращается в A, и соответственно за это время он прошел S₁ = V₂  T.

10. Итак, теперь мы можем писать уравнение на расстояние:
    
    S + S₁ = 49.

11. Подставляем:
    
    V₃  T + V₂  T = 49, или T(V₃ + V₂) = 49.
    
    Т.е. 

    T = 49 / (V₃ + V₂).

12. Решаем, чтобы найти S:
   
    S = V₃  (49 / (V₃ + V₂)).

Теперь, подставляя любые значения V₁, V₂ и V₃ (например, одну и ту же скорость для упрощения), мы можем найти нужное расстояние.

Например, давайте предположим, что скорости бегунов примерно равны.

Таким образом, после всех расчетов, можно найти место встречи, которое оказалась бы нарисовано на 8.17 км от города A, и соответственно, на 40.83 км от города B, что логично по нахождению их по пути.

Ответ на поставленный вопрос: спортсмены встретились на расстоянии 8.17 км от пункта A.