Как решить: Пусть k(n) — произведение цифр натурального числа n?

Давайте разберемся с задачей более подробно, по шагам.

Определение и формулировка задачи

У нас есть натуральное число n, и нам нужно выяснить, является ли оно "интересным". Число n называется интересным, если выполняются следующие условия:

1. n > 100
2. 40 * k(n) = n² - 841, где k(n) — это произведение цифр числа n.

Шаг 1: Понимание формулы 

Сначала разберёмся с формулой. Нам нужно убедиться, что:

40 * k(n) = n² - 841

Это можно переписать для удобства:

n² - 40 * k(n) - 841 = 0

Шаг 2: Нахождение k(n)

Функция k(n) — это произведение цифр числа n. Допустим, n имеет цифры d₁, d₂, d₃, ..., dₖ. Тогда:

k(n) = d₁ * d₂ * d₃ * ... * dₖ

Шаг 3: Исследование условия

Используем уравнение на всякий случай. Переписывая его, мы получаем:

n² = 40 * k(n) + 841

Теперь заметим, что для натуральных чисел n значение n² всегда положительно и, следовательно, 40 * k(n) также должно быть положительным.

Шаг 4: Ограничение по n

Поскольку n должно быть больше 100, можно использовать программу для перебора значений n от 101 до некоторого значения, чтобы найти все интересные числа. Интуитивно можно предположить, что n не должно быть слишком большим, иначе n² станет слишком большим для равенства.

Шаг 5: Проверка чисел

Теперь мы можем написать программу, которая будет проверять все натуральные числа начиная с 101:

```Python
def k(n):
    product = 1
    while n > 0:
        product *= n % 10
        n //= 10
    return product

interesting_numbers = []

for n in range(101, 1000):  # Подберите верхнее значение на ваше усмотрение
    if 40 * k(n) == n**2 - 841:
        interesting_numbers.append(n)

print(interesting_numbers)
```

Шаг 6: Запуск программы

Запустив программу, мы получим все интересные числа. Важно выбрать разумный верхний предел. Если мы знаем, что n не может превышать 500 (например, если у нас нет больших произведений цифр), можно остановиться на этом.

Шаг 7: Получение ответов

После выполнения программы мы подводим итог. Ответ нужно предоставить в порядке возрастания, разделяя числа запятыми.

Заключение

Таким образом, основная идея заключается в том, чтобы:

1. Определить функцию для нахождения произведения цифр.
2. Перебрать все числа, начиная с 101.
3. Проверить условие для каждого n и сохранить все подходящие числа.

Если всё сделать правильно, вы получите интересные числа в виде списка, который легко расположить в нужном формате. 

Теперь, следуя приведённым шагам, вы сможете найти интересные числа и понять, как была решена задача.