Как решить: Назовем пару чисел (b,с) великолепной, если наибольший...?

Для решения задачи о великолепных парах чисел (b, c), необходимо рассмотреть систему условий, вытекающих из определения великолепной пары. Мы имеем квадратное уравнение вида:

x² - 43bx + c = 0.

Из этого уравнения мы можем определить корни и далее использовать их для анализа наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК).

Шаги решения:

1. **Вычисление корней уравнения**:
   Корни квадратного уравнения можно найти по формуле:
   
   x₁, x₂ = (43b ± √D) / 2, где D = (43b)² - 4c.

2. **Условия для НОД и НОК**:
   - Наибольший общий делитель корней равен b
   - Наименьшее общее кратное корней равно c

   Используем тот факт, что для любых двух чисел a и b выполняется следующее равенство:
   
   НОД(a, b) × НОК(a, b) = a × b.

3. **Обозначим корни**:
   Обозначим корни как:
   a = x₁ = (43b + √D) / 2
   b = x₂ = (43b - √D) / 2 

   Тогда, по определению НОД и НОК, мы имеем:
   
   НОД(a, b) = b и НОК(a, b) = c.

4. **Используя формулы и условия**:
   Из того что НОД(a, b) = b, следует, что корни a и b должны быть кратны b. Отсюда мы можем выразить их как: 
   a = bk и b = bm, где k и m - некоторые целые числа.

5. **Преобразование и подстановка**:
   Теперь подставим наши выражения в уравнение:
   c = (bk)(bm).

   Это указывает на то, что c может быть выражено через b как:
   
   c = b²km.

6. **Поиск решения для целых b и c**:
   Теперь у нас имеется система уравнений, которую необходимо решить с целыми b и c. Мы можем ограничить область поиска, используя определенные значения b, чтобы получить значения c.

Программная реализация:
С точки зрения программирования, мы можем написать простой алгоритм для перебора возможных значений b и вычисления соответствующих значений c, проверяя заданные условия НОД и НОК.

Вот возможный код для самостоятельной реализации:

count = 0
for b in range(1, 100):  # Измените диапазон по необходимости
    for km in range(1, 100):  # Перебор k * m
        c = b * b * km
        # Здесь предполагаем, что c также должно быть проверено на другие условия
        if gcd(a, b) == b and lcm(a, b) == c:
            count += 1
            
print(count)

Ответ:
В результате анализа и программирования вы получите количество великолепных пар, удовлетворяющих всем условиям. Это сочетание теории и практики демонстрирует, как можно подойти к решению подобной задачи, используя логику, математику и программирование.