Как решить: При нажатии на кнопку в лифте 23-эт. дома кнопка загорается?

Давайте разберёмся с задачей шаг за шагом, чтобы понять, сколько кнопок было нажато трижды в лифте.

1. Определение условий задачи

У нас есть три человека: Вася, Коля и Петя, каждый из которых нажимает разные кнопки в лифте:

- Вася нажал на 12 различных кнопок.
- Коля нажал на 14 различных кнопок.
- Петя нажал на 19 различных кнопок.

2. Изначальное состояние

- Изначально, ни одна кнопка не горела. 
- По условию задачи, после нажатия всех кнопок, каждая кнопка должна гореть. 

3. Взаимодействие с кнопками

Если кнопка нажата один раз, она загорается. Если нажата второй раз, она гаснет. То есть кнопка горит тогда и только тогда, если она была нажата нечетное количество раз.

4. Обозначим количество кнопок, нажимаемых каждый раз

Нам нужно определить, сколько кнопок было нажато трижды. Обозначим:

- К — количество кнопок, которые были нажаты трижды.
- x — количество кнопок, которые были нажаты один раз.
- y — количество кнопок, которые были нажаты дважды.

Тогда общий контингент нажатий будет равен:

- Васькины нажатия: 12
- Колины нажатия: 14
- Петины нажатия: 19

5. Система уравнений

Суммируем все нажатия:

Общее нажатие = 12 + 14 + 19 = 45 (всего нажатий)

Также можно записать другое уравнение, исходя из того, сколько кнопок было нажато:

Обширно разместим количество нажатий:

1. x + 2y + 3K = 45 (где K - нажатые трижды)

И мы знаем, что все кнопки в итоге загорелись. Это значит, количество кнопок, которые светятся (то есть были нажаты нечетное количество раз), равно количеству разных кнопок, нажатых хотя бы один раз:

Общее количество кнопок нажатой хотя бы один раз = x + y + K

6. Возможные значения

Мы знаем, что у нас всего 23 кнопки. Таким образом, у нас есть ещё одно уравнение:

2. x + y + K = 23

7. Решим систему уравнений

Итак, у нас есть:

- 1: x + 2y + 3K = 45
- 2: x + y + K = 23

Теперь выразим x из уравнения 2:

x = 23 - y - K

Подставим это значение в 1-е уравнение:

23 - y - K + 2y + 3K = 45

Упростим это:

y + 2K = 22 => y = 22 - 2K

Теперь подставим в уравнение 2:

x + (22 - 2K) + K = 23

В результате имеем:

x + 22 - 2K + K = 23

x = 1 + K

8. Пробуем различные значения для K

Теперь нам следует проверить, при каких значениях K это срабатывает:

- Если K = 0, то x = 1 и y = 22. Не возможно, так как maximum кнопок = 23 и нажатий = 45.
- Если K = 1, то x = 2 и y = 20. Совпадает, и это возможно.
- Если K = 2, то x = 3, и y = 18. Совпадает и это возможно.
- Продолжаем проверять и обнаруживаем, что значений больше 11 не будет, так как оно нарушает все условия.

9. Ответ

Таким образом, после проверки всех возможных значений, можем утверждать, что количество кнопок, нажимаемых трижды, равно 11.