Как решить задачу про треугольник в пространстве?

Чтобы решить задачу о вычислении углов треугольника, заданного в пространстве тремя точками A, B и C, давайте аккуратно разберем каждый шаг и выявим возможные ошибки. Следуем логическому плану из пунктов:

### Шаг 1: Нахождение векторов сторон треугольника

Сначала найдем векторы, представляющие стороны треугольника:

- Вектор AB = B - A = (2 - 1, 1 - (-4), 4 - 5) = (1, 5, -1)
- Вектор AC = C - A = (6 - 1, 2 - (-4), 3 - 5) = (5, 6, -2)
- Вектор BC = C - B = (6 - 2, 2 - 1, 3 - 4) = (4, 1, -1)

### Шаг 2: Нахождение длин сторон треугольника

Далее, вычислим длины сторон треугольника:

- Длина AB = √(1^2 + 5^2 + (-1)^2) = √(1 + 25 + 1) = √27
- Длина AC = √(5^2 + 6^2 + (-2)^2) = √(25 + 36 + 4) = √65
- Длина BC = √(4^2 + 1^2 + (-1)^2) = √(16 + 1 + 1) = √18

### Шаг 3: Применение закона косинусов

Затем используем закон косинусов для нахождения косинусов углов треугольника. 

Формулы для углов:

- cos A = (b² + c² - a²) / (2bc)
- cos B = (a² + c² - b²) / (2ac)
- cos C = (a² + b² - c²) / (2ab)

Где a = BC, b = AC, c = AB:

- a = √18, b = √65, c = √27

Найдём значения:

Для угла A:
cos A = (√65² + √18² - √27²) / (2  √65  √18) = (65 + 18 - 27) / (2  √65  √18)

Для угла B:
cos B = (√27² + √18² - √65²) / (2  √27  √18) = (27 + 18 - 65) / (2  √27  √18)

Для угла C:
cos C = (√27² + √65² - √18²) / (2  √27  √65) = (27 + 65 - 18) / (2  √27  √65)

### Шаг 4: Вычисление углов и проверка суммы

Теперь находим значения косинусов и преобразуем их в градусы с помощью арккосинуса:

- A = arccos(cos A)
- B = arccos(cos B)
- C = arccos(cos C)

Затем складываем углы:

S = A + B + C

Если суммы углов не равны 180°, возможно, вы допустили ошибку при вычислении косинусов или значений. Убедитесь, что:

1. Правильно вычислены длины сторон.
2. Применены правильные формулы закона косинусов.
3. Корректно переведены значения косинусов в градусы.

### Шаг 5: Итоговая проверка

После того как вы провели все вычисления и проверили их корректность, вы должны получить, что сумма углов равна 180°. Если это не так, рассмотрите возможность ошибок в подстановках значений.

Надеюсь, этот подход поможет вам выявить и устранить ошибку в ваших расчетах!