Как решить: Дана схема государства, на которой точками обозначены города?

Чтобы решить задачу о равномерном распределении дорог в системе из 11 городов, начинаем с понимания основных принципов графовой теории. Мы будем работать с графом, где города представляют собой вершины, а дороги — рёбра графа.

Шаг 1: Анализ исходных данных

1. Количество городов (вершин): 11.
2. Параметр "степени" вершин: Нам нужно, чтобы степень (количество выходящих из города дорог) каждой вершины была одинаковой. Обозначим это значение как k.
3. Общее количество рёбер (дорог): Чтобы все вершины имели равную степень, необходимо, чтобы k было чётным. Это требует, чтобы общее количество рёбер было чётным.

Шаг 2: Распределение степеней

1. Сумма степеней вершин: В графе сумма степеней всех вершин должна быть равна удвоенному количеству рёбер. Таким образом, для 11 городов с одинаковой степенью k, следуем формуле:
   
   S = 11k = 2E, где E — количество рёбер.

   Это означает, что k должно быть чётным для соблюдения условия.

2. Определить максимальную степень: Поскольку k должна быть чётным и не превышать количество городов минус 1 (то есть 10), возможные значения k могут быть:
   - 0 (все города изолированы)
   - 2
   - 4
   - 6
   - 8
   - 10

Шаг 3: Минимизация количества добавленных дорог

1. Исходные дороги: Начнём с определения текущее количество дорог в системе. Например, если в графе на данный момент существует r дорог, то 
   E = r.

2. Цель: Найти минимальное значение k и так же минимальное количество добавленных дорог.

Шаг 4: Подсчет недостающих дорог

1. Находим требуемое количество рёбер: Предположим, что вы выбрали k = 10. Тогда вам нужно:
   E = (11  10) / 2 = 55 рёбер.
  
2. Вычисляем количество новых рёбер: 

   Новые дороги = E - r.

Шаг 5: Краткий совет

- Если текущее количество дорог меньше необходимого под выбранную степень k, то нужно будет построить столько дорог, сколько недостает.
  
Заключение

На основании анализа можно сделать следующие выводы:

- Для каждого из возможных значений k, мы можем рассчитать итоговое количество недостающих дорог.
- Минимизация будет достигнута тогда, когда вы выберете наибольшее подходящее чётное k в пределах 10 и добавите дороги до достижения равенства в степени.

Пример:

Если у вас 5 дорог, и вы хотите, чтобы степень каждого города была равна 2:

1. Необходимо построить минимально 5 новых дорог:
    - E = (11  2) / 2 = 11 —  всего нужно 11, значит:
    - 11 — 5 = 6 — недостаточно 6 дорог.

Таким образом, минимальное количество строящихся дорог зависит от ваших текущих данных и предполагаемого значения степени k.