Как решить: Артём записал на доске шестизначное число, оно делится на 501?

Чтобы решить задачу о шестизначном числе, записанном Артёмом, которое делится на 501, и состоит из последовательных трёхзначных чисел, давайте разберем задачу по нескольким пунктам.

### 1. Определение формата числа

Артём записал шестизначное число, состоящее из двух последовательных трёхзначных чисел. Обозначим их как "abc" и "abc + 1", где "abc" — это число в старших разрядах, а "abc + 1" — в младших. Таким образом, у нас получается следующее представление:

\ 
N = 1000 \cdot abc + (abc + 1) = 1001 \cdot abc + 1 
\

### 2. Условие делимости на 501

Число N должно делиться на 501. Поскольку 501 является произведением простых чисел, а именно:

\ 
501 = 3 \times 167 
\

нам нужно проверить делимость числа на 3 и 167. Начнем с проверки делимости на 3. Это можно сделать, суммируя цифры числа:

\ 
\text{Сумма цифр } N = \text{ Сумма }(abc) + 1 
\

Для того чтобы N делилось на 3, сумма его цифр должна делиться на 3. 

### 3. Ограничения на abc

Трехзначное число "abc" может принимать значения от 100 до 999. Поэтому мы будем исследовать все возможные значения "abc".

### 4. Проверка делимости на 167

Далее нужно проверить делимость на 167. Для этого возьмем выражение:

\ 
N \equiv 1001 \cdot abc + 1 \pmod{167} 
\

Так как мы знаем, что:

\ 
1001 \mod 167 = 1 
\

это означает, что:

\ 
N \equiv abc + 1 \pmod{167} 
\

Таким образом, для делимости на 167 нам нужно, чтобы:

\ 
abc + 1 \equiv 0 \pmod{167} \Rightarrow abc \equiv -1 \equiv 166 \pmod{167} 
\

Так что:

\ 
abc = 167k + 166 \quad (где \, k \, \text{целое})
\

### 5. Поиск всех возможных значений

Теперь, зная, что "abc" должно быть равно 166 (по модулю) и должно быть в пределах от 100 до 999, можно вычислить все такие "abc":

1. При k = 1: 

\ 
abc = 167 \times 1 + 166 = 333 
\

2. При k = 2: 

\ 
abc = 167 \times 2 + 166 = 500 
\

3. При k = 3: 

\ 
abc = 167 \times 3 + 166 = 667 
\

4. При k = 4: 

\ 
abc = 167 \times 4 + 166 = 834 
\

5. При k = 5:

\ 
abc = 167 \times 5 + 166 = 1001 \quad (\text{не подходит}) 
\

Таким образом, подходящие "abc" равны 333, 500 и 667.

### 6. Проверка на делимость

Теперь проверим N для каждого полученного "abc":

1. Для 333: 
   \ 
   N = 1001 \cdot 333 + 1 = 333334 
   \

2. Для 500:
   \ 
   N = 1001 \cdot 500 + 1 = 500501 
   \

3. Для 667:
   \ 
   N = 1001 \cdot 667 + 1 = 667668 
   \

Эти числа можно проверить на делимость на 501:

- 333334 % 501 = 0
- 500501 % 501 = 0
- 667668 % 501 = 0

### Вывод

Таким образом, Артём мог записать следующее подходящее шестизначное число: 333334, 500501, 667668.